UTNianos

alguien me ayuda con estos puntos del parcial q no me salieron. Gracias

1) sea\[\varphi :\mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}/\varphi\in C^{2} ...y..\vec{F}(x,y,z)=\varphi(x,y,z).\vec{\triangledown} \varphi(x,y,z)\]


Demostrar que \[\vec{F}\] es un campo gradiente y verificar q su funcion potencial es \[U(x,y,z)=\frac{\varphi ^{2}(x,y,z)}{2}\]


2) sea C la curva representativa de la solucion particular de \[y''-y=x\] cuya recta tangente en el punto de absisa x=0 tiene ecuacion y=1 y sea \[\vec{F}\] \[D \subset \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}/\vec{F}(x,y)=\left ( x;\frac{1}{x+y} \right )\]

calcular la circulacion de F a lo largo de la curva C entre los puntos \[A=(0,y_0) \mbox { y } B=(2,y_1)\]

Muchas Gracias

Holas

(30-11-2011 05:26)fer512 escribió: [ -> ]2) sea C la curva representativa de la solucion particular de \[y''-y=x\] cuya recta tangente en el punto de absisa x=0 tiene ecuacion y=1 y sea \[\vec{F}\] \[D \subset \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}/\vec{F}(x,y)=\left ( x;\frac{1}{x+y} \right )\]
calcular la circulacion de F a lo largo de la curva C entre los puntos \[A=(0,y_0) \mbox{ y } B=(2,y_1)\]

te respondo este mientras, el primero aun no me cierra algo jeje ¿ no falta ningun dato ? me despista el hecho que la funcion U que te dicen que es la potencial no este con una constante y si se determino dicha constante faltaria algun dato mas, eso por ahora me tiene en duda

Este ejercicio simplemente encontra la curva asociada a la ecuacion diferencial \[y''-y=x\] no homogenea de segundo grado, intentalo siguiendo las sugerencias por este post , que es muy muy parecido a este, incluso tambien te piden la circulacion a lo largo de la curva hallada, como datos tenes que \[f'(0)=1\] y ademas que \[f(0)=y_0 \wedge f(2)=y_1\] con esos datos tenes que hallar la curva asociada a la ecuacion diferencial, cualquier duda , el otro como te dije dejame pensarlo un poco mas, o fijate si no falta ningun dato mas jejej

saludos

por aca iria la mano?

\[\varphi .(\frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y}, \frac{\partial \varphi }{\partial z})\]

\[(\varphi .\frac{\partial \varphi }{\partial x},\varphi .\frac{\partial \varphi }{\partial y},\varphi . \frac{\partial \varphi }{\partial z})\]

\[\varphi .\frac{\partial \varphi }{\partial x}=\frac{\partial \cup }{\partial x}\]

\[\int \varphi .\frac{\partial \varphi }{\partial x}dx=\int \frac{\partial \cup }{\partial x}dx\]


\[\int \varphi .\frac{\partial \varphi }{\partial x}dx=\cup \]


?????????????????????????????????????????????

Tambien lo pence por ese lado, pero como \[\varphi=g \in C^2\] ( por comodidad en notacion llamo g a esa función )

Por definicion f es un campo de gradientes si y solo si existe una funcion escalar \[U:R^n\rightarrow R\] llamada funcion potencial \[U\in C^1\mbox { y } \nabla U=f\]
o que es lo mismo verificar que el rotacional del campo sea el vector nulo, ahi usamos el dato de que g es clase 2.

\[f(x,y,z)=g(x,y,z)\nabla g(x,y,z)=(g\;g'_x,g\;g'_y,g\;g'_z)\] si calculamos el rotacional

\[\mbox{rot}(f)=\begin{bmatrix} {\dfrac{\partial}{\partial x}}&{\dfrac{\partial}{\partial y}}&{\dfrac{\partial}{\partial z}}\\\\{g\;g_x}&{g\;g_y}&{g\;g_z}\end{bmatrix}=(0,0,0)\]

y para que tengan sentido calcular esas derivadas parciales necesitas que g sea clase 2

¿ El segundo lo pudiste sacar ?

saludos

Gracias , si el 2 me saliio, el q no me sale es el de demostrar q

ese es mas sencillo, simplemente usa que \[\nabla U=F\] o sea solo deriva u respecto de cada componente por ejemplo

\[\nabla U=(g.g'_x,g.g'_y,g.g'_z)=g(g'_x,g'_y,g'_z)=....\]

lo podes terminar ??


saludos

derivarlo? no tendría q hacer la integral de cada componente?

fer512 escribió:derivarlo? no tendría q hacer la integral de cada componente?

Haber te pregunto algo antes de contestar, ¿ la funcion potencial U es una funcion escalar o vectorial ?

U es un campo escalar, El gradiente U es un campo vectorial

Bien, lo de integrar y eso es correcto, seria una forma de probar que la funcion dada U es potencial del campo, pero acordate de al defincion de campo de gradientes

Por definicion f es un campo de gradientes si y solo si existe una funcion escalar \[U:R^n\rightarrow R\] llamada funcion potencial \[U\in C^1\mbox { y } {\color{red}\nabla U=f }\]

Lo que reslate en rojo es lo que estoy usando, tenes la funcion U que como bien dijiste es escalar y su gradiente ese vectorial, o sea es igual al campo f, me estoy dejando entender?

saludos

Q derive el U q me dan en el enunciado. listo ;)

Exacto, podes hacerlo del otro modo si queres que no esta mal planteado como lo dijiste partir de f y llegar a U, pero para que complicarse la vida, si no te dieran esa funcion U ahi si habria que hacer todas las cuentitas, pero como la tenes y la definicion expresa lo que dije arriba en rojo, cocinado el pollo

saludos

Muchas Gracias capo