UTNianos

Gente, les dejo el final que tomaron hoy. Termino de comer y pongo la solución.

Grande ivan... Muchas gracias

RESOLUCIÓN.


Ejercicio 4:



\[\bar{f}(x,y)=(g(y-x)-y^2, xy-g(y-x))\]

\[-x \leq y \leq x\]

\[x^2+y^2 \leq 2y\]


Cambio de coordenadas para trabajar más fácil:

\[x=rcost\]

\[y=rsent\]


Entonces los límites quedan así:

\[0 \leq r \leq 2sent\]

\[ -\frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{\pi}{4}\]


Para calcular la circulación, conviene hacerlo por el teorema de green para deshacernos de la finción \[g\]:

\[Q'_x=y\]

\[P'_y=-2y\]

\[Q'_x-P'_y=3y\]

Y la circulación queda como:

\[\int^{\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{4}} \int^{2sent}_{0} r^2sent drdt= \frac{3\pi}{2}-4\]

Verificación: Wolfram

Ahora escribo los demás, mientras vayan comentando éste (si está bien o mal, o que otros métodos usarían).

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Ejercicio 2:


\[\delta (x,y,z)=kxy\]

\[0 \leq x \leq 4-z \to 0 \leq 4-z \to z\geq 4\]

\[0 \leq y \leq \sqrt{z}\]

\[0 \leq z \leq 4\]

Masa=MASA=Integral triple-Wolfram=\[\frac{16}{3}k\]

Ahora sigo subiendo, en algunos tengo dudas

Justo lo estaba escaneando cuando vi este thread. Este para mi era mas fácil que el otro, en el de la semana pasada me saqué un 2, en este 6

Ejercicio 3.


Cambio de coordenadas:

\[x=rcost\]
\[y=rsent\]


Entonces los límites quedan:

\[\sqrt{4-r^2} \leq z \leq 4-r^2\]

\[\sqrt{4-r^2}= 4-r^2 \to \frac{\sqrt{4-r^2}}{\sqrt{4-r^2}} = \frac{4-r^2}{\sqrt{4-r^2}} \to 1=\sqrt{4-r^2} \to r=\sqrt{3}\]


Y la divergencia:

\[div(\bar{f})=2rcost\]


Flujo:

\[2 \int^{2\pi}_{0} \int^{\sqrt{3}}_{0} \int^{4-r^2}_{\sqrt{4-r^2}} r^2cost dzdrdt -12\pi=\]Pirmera integral-Wolfram \[-12\pi= -12\pi\]

Falta uno, lo hago mañana porque no doy más Jaja De este sí que no estoy seguro ehh. El que me lo puedo pilotear se lo agradezco.

Están perfectos los ejercicios hasta ahora.

(13-12-2011 01:49)Aivan escribió: [ -> ]Están perfectos los ejercicios hasta ahora.

Muchas gracias! Mañana termino el que queda (ejercicio 1). Llegué hasta el plano que me dió \[x-y+2z=6\] pero no me sale el área. Ya no doy más sigo mañana Jaja

porque en el 4 tomas tita de menos pi /4 a pi /4 ?

cuando es la recta y=x y la recta y =-x divide en pi /4 y 3pi/4

Es exactamente lo mismo.

\[-\pi/4=\frac{3\pi}{4}\]

Saludos!

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Ejericico 1.

\[xz+e^{z-2y}-7=0\]

Si analizo en el punto \[\bar{A}=(3,1,z_0)\]:

\[3z_0+e^{z_0-2}-7=0 \to z_0=2\]


Derivadas parciales de la superficie \Sigma que está definida implícitamente por la ecuación anterior:

\[\frac{dz}{dx}(x_0,y_0,z_0)=-\frac{z}{x+e^{z-2y}} \to \frac{dz}{dx}(3,1,2)=-\frac{1}{2}\]

\[\frac{dz}{dy}(x_0,y_0,z_0)=\frac{2}{x+e^{z-2y}} \to \frac{dz}{dy}(3,1,2)=\frac{1}{2}\]


Ahora obtengo el plano tangente:

\[ \pi_0: ( \frac{dz}{dx}(3,1,2), \frac{dz}{dy}(3,1,2), -1).(x-3,y-1,z-2)=0 \]

\[\pi_0:x-y+2z=6\]


Ahora me faltaría calcular el área encerrada entre \[\pi_0\] y \[y \leq 5\] pero no me sale

RESOLUCIÓN T2

Solución General: Aquella expresión que junto a sus derivadas satisface idénticamente a la ecuación diferencial. Posee tantas constantes linealmente independientes como grado tenga la ecuación diferencial. Gráficamente representa la familia de curvas de una función.

Solución Particular: Aquella solución que proviene de hallar las constantes de la solución general en un determinado punto.

Bien, nos dicen que \[y=C_{1} + C_{2}e^{-2x}\] es solución general de \[y^{''}+by^{'}+cy = 0\]. ¿Qué significa eso?. Que si yo pudiera obtener la solución de \[y^{''}+by^{'}+cy = 0\], me daría efectivamente \[y=C_{1} + C_{2}e^{-2x}\].

Refrescando un poco... Si yo tengo una ecuación de la forma \[y^{''}+y^{'}+y = 0\], lo que hago para resolverla es:

1. Pasarla a forma de ecuación cuadrática (Si es \[y^{''}+y^{'}- 2y = 0\] la ecuación diferencial, entonces mi cuadrática será: \[r^2 + r -2 = 0\])
2. Hallar las raíces (\[r_{1} = 1\] y \[r_{2} = -2\])
3. Pasarla a la ecuación característica (Como son distintas las raíces, la solución general me va a quedar \[y = C_{1} e^{r_{1}x} + C_{2} e^{r_{2}x}\], donde \[r_{1}\] y \[r_{2}\] son las raíces, claro...)
   

Acá me dan la solución general, por lo que implícitamente debe contener a las raíces. Veamos...

Si tenemos que \[y=C_{1} + C_{2}e^{-2x}\] y sabemos que la ecuación general tiene la forma \[y = C_{1} e^{r_{1}x} + C_{2} e^{r_{2}x}\], la única forma de que tenga esa pinta es que sea de la siguiente forma: \[y = C_{1} e^{0x} + C_{2} e^{-2x}\], con lo cual tenemos las 2 raíces, \[r_{1} = 0\] y \[r_{2} = -2\].

Bien, tenemos que hallar b y c para poder hallar la ecuación general de \[y^{''}+by^{'}+cy = 6\]

Planteamos la ecuación cuadrática de \[y^{''}+by^{'}+cy = 0\] que sería \[r^2 + br + c = 0\]

\[\frac {-b\pm \sqrt{b^2 - 4 * 1 * c}} 2\]

\[\frac {-b\pm \sqrt{b^2 - 4c}} 2 \]

Tenemos esto, ¿que hacemos?. Bien, tenemos ya las 2 raíces, por lo que podemos hacer:

\[\frac {-b + \sqrt{b^2 - 4c}} 2\rightarrow = 0\] y \[\frac {-b - \sqrt{b^2 - 4c}} 2\rightarrow = -2\] (2 sistemas de ecuación con 2 incognitas, nada loco...)

Resolvemos un toque la primera y nos queda que \[c = 0\], reemplazamos \[c = 0\] en la otra y nos queda \[b = 2\]

Vamos a la ecuación \[y^{''}+by^{'}+cy = 6\] y reemplazamos y nos queda \[y^{''}+2y^{'}= 6\] una ecuación diferencial bastante sencilla si realizamos la reducción de orden (\[y^{'} = u\]). Nos queda:

\[u^{'}+2u = 6\]

\[\frac{\mathrm{d} u }{\mathrm{d} x} = 6 - 2u\]

\[\frac{\mathrm{d} u }{6 - 2u} = \mathrm{d} x\]

Salteando algunos pasos:

\[u = e^{-2x} C_{1} + 3\]

\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = e^{-2x} C_{1} + 3\]

Salteando algunos pasos nuevamente:

\[y = C_1 e^{-2x}+3x+C_{2}\]

Si hay algún error de cuentas avisen, ok?.

Saludos y suerte a los que rinden.

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(13-12-2011 10:11)matyary escribió: [ -> ]Ahora me faltaría calcular el área encerrada entre \[\pi_0\] y \[y \leq 5\] pero no me sale

¿Qué no te sale?.

Si lo proyectamos sobre el \[(y,z)\] tenemos que:

\[0 \leq y \leq 5 \] (Ya que es primer octante)

\[0 \leq z \leq \frac{6+y}{2}\] (Acordate, primer octante)

Si necesitas la resolución avisa, no la pongo por que sé que podes sacarlo.

\[\int^{5}_{0} \int^{\frac{6+y}{2}}_{0} dzdy = 15+\frac{125}{6} = \frac{215}{6} \]

Así sería?

(13-12-2011 12:16)matyary escribió: [ -> ]\[\int^{5}_{0} \int^{\frac{6+y}{2}}_{0} dzdy = 15+\frac{125}{6} = \frac{215}{6} \]

Así sería?

Te faltó el diferencial de superficie creo:

\[\mathrm{d} \sum = \frac{\sqrt{\frac{\partial F}{\partial x}^2+\frac{\partial F}{\partial y}^2 + \frac{\partial F}{\partial z}^2}}{\left| \frac{\partial F}{\partial x} \right | }\]

\[\mathrm{d} \sum = \frac{\sqrt{ 1 + 1 + 4}}{\left| 1 \right | }\]

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Acordate que es el área de una superficie...

Ah si tenés razón. Gracias!

También podría parametrizar el plao en función de y y de z. Y hacer el módulo del producto vectorial de las derivadas parciales de la parametrización. Da lo mismo que lo que hiciste vos supuestamente. Mil gracias! Me voy a rendir a ver que sale Jaja

Si, tiene que dar lo mismo parametrizado. Dale, mucha suerte Matyary .

El resultado final me da \[\frac{35}{2}.\sqrt{\frac{3}{2}} \simeq 21.433 \]

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Gracias Aivan! Chau chau