Justificar:

La matriz A

3 1 0
0 -1 0
0 0 3

no es diagonalizable.

-----------------------------------

Lo que hice fue:

1) Saqué los autovalores

Ahorro todas las cuentas acá y digo que me dieron
-1
3
3

Como no son todos distintos no puedo afirmar que sea diagonalizable.

Acá arranca mi duda:
¿Tengo que ver si se cumple A = P * D * P^(-1), no?
Si es así prosigo a:

2) Formé D con los autovalores:

-1 0 0
0 3 0
0 0 3

3) Saqué los autovectores:

Con landa = 3 queda:

0 1 0
0 -4 0
0 0 1

0 1 0
0 0 0
0 0 1

El autovector de acá es x(1,0,0). Ya tengo dos autovectores entonces.

Con landa = -1 queda:

4 1 0
0 0 0
0 0 4

El autovector de acá es x(1,-4,0).

4) Formé P con los autovectores:

1 1 1
-4 0 0
0 0 0

5) Intenté sacar P^(-1)

P no tiene inversa (por la última fila 0 0 0).

Entonces no hay forma que me de A = P * D * P-1.

Mi duda es si está bien tanto la resolución del ejercicio como la justificación del mismo (de por qué no es diagonalizable).

Tal vez hice mal alguna cuenta. Si quieren revisarlo, mejor =) Igualmente lo que me interesa es la forma de resolución.

Muchas gracias =)
Leito!

Me confundí desde acá para abajo, jejeje.
Acá está bien con los cambios hechos:

3) Saqué los autovectores:

Con landa = 3 queda:

0 1 0
0 -4 0
0 0 0

0 1 0
0 0 0
0 0 0

Me quedan los autovectores son x(1,0,0) y z(0,0,1). Ya tengo dos autovectores entonces.

Con landa = -1 queda:

4 1 0
0 0 0
0 0 4

El autovector de acá es x(1,-4,0).

4) Formé P con los autovectores:

1 0 1
-4 0 0
0 1 0

5) P tiene Inversa.

0 -0,25 0
0 0 1
1 0,25 0

6) Se verifica A = P * D * P-1.

A es diagonalizable. Entonces el enunciado es Falso. (Aclaro que era un V o F)

Mi duda es ahora, ¿Qué me tendría que pasar para que no sea diagonalizable?

Muchas gracias =)
Leito!

esta bien asi, nadie te puede decir que no, pero podes ahorrarte el tratar de encontrar p^-1 fijandote la multiplicidad algebraica y geometrica de los autovalores...

1° si una matriz nxn tiene n autovalores distintos => es diagonalizable (OJO; va para un solo lado, si tiene menso autovalores igualmente puede ser que sea diagonalizable)

2° se llama multiplicidad algebraica a la cantidad de veces que aparece (lambda-autovalor) en el polinomio caracteristico. y la multiplicidad geometrica es la dimension del espacio generado por el autovalor(en otras palabras la catidad de autovectores que te quedan)

3° para que una matriz sea diagonalizable cada autovalor tiene que tener su mult. geometrica = a su multiplicidad algebraica.

espero que te sirva
saludos!