Hola a todos, este es uno de los ejercicios que tomaron en un parcial de Álgebra y quería saber si alguno lo puede resolver:


Sean los subespacios de \[\mathbb{R}^4\]: \[\textrm{S}_{1}=\left \{ \(x_1, x_2, x_3, x_4)\in \mathbb{R}^4/ x_1=x_2 \wedge x_3=x_4 \right \}\] y \[\textrm{S}_{2}=\mathrm{gen}\left \{ \(1,-1,1,-1); (2,0,2,0)\right \}\].
Defina mediante ecuaciones los subespacios \[\textrm{S}_1^{\ \perp } \cap \textrm{S}_2\] y \[\textrm{S}_1 + \textrm{S}_2\].
Encuentre una base de cada uno de los subespacios hallados, e indique si la suma es directa.


Desde ya, gracias

Son mas cuentas que la verdad solo sirven para complicar

de S1 y S2 las bases son respectivamente \[S1=\left\{(1,1,0,0)(0,0,1,1)\right\}\quad S2=\left\{(1,-1,1,-1)(2,0,2,0)\right\}\]

para hallar el complemento ortogonal de S1, tomando un vector generico \[(a,b,c,d)\] planteamos

\[(1,1,0,0)(a,b,c,d)=0\quad (0,0,1,1)(a,b,c,d)=0\to a=-b\quad c=-d\]

finalmente

\[S^{\perp}=(a,b,c,d)\in R^4/a=-b\wedge c=-d\] una base

\[B_{S^{\perp}}=\left \{ (-1,1,0,0)(0,0,-1,1) \right \}\]

Para hallar la intersección de S1 complemento y S2 primero fijate si los vectores respectivos de base son LI, para hallar las ecuaciones asociadas, toma un vector generico otra vez de \[R^4\quad \overline X\] y plantea la combinacion lineal con los vectores LI que encontres de lo anterior, suponiendo que los 4 vectores de ambos espacios sean LI planteas

\[\overline X=\alpha u+\beta v+\lambda w+\theta t\quad \overline X=(a,b,c,d)\]

ahora si fuesen solo dos vectores LI lo haras con dos si fuesen 3 con 3...

Para la suma tenes que trabajar con S1 y S2 por separado, tomando nuevamente un vector genérico de \[R^4\] y plantear la combinación lineal con cada base de cada subespacio, asi

\[S1: (a,b,c,d)=\alpha_1(1,1,0,0)+\alpha_2(0,0,1,1)\]

\[S2: (a',b',c',d')=\beta_1(1,-1,1,-1)+\beta_2(2,0,2,2)\]

De esa combinacion lineal, obtenes las ecuaciones de la suma de ambos subespacios, para sacar una base plantea la matriz asociada a esas ecuaciones y fijate pivoteando o gauss, o como sepas cuantas filas de esa matriz no se anulan, con eso obtenes una base de la suma.

Son muchas cuentas este tipo de ejercicios en \[R^4\] , y como soy desastre para las cuentas, te las dejo a vos cualquier duda, por aca andamos

Genial. Gracias!!!