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[Álgebra y Geometría Analítica] Ejercicio de final - Transformaciones Lineales
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thundEr Sin conexión
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Mensaje: #1
[Álgebra y Geometría Analítica] Ejercicio de final - Transformaciones Lineales Finales y 1 más Álgebra y Geometría Analítica
Estaba resolviendo el final que dieron ayer de álgebra y me topé con este ejercicio.

Sabiendo que el núcleo de una transformación en R³ es
S = {(x,y,z) € R³ / x-y+z=0}
y que la imagen es su complemento ortogonal.

a) Defina una transformación lineal que cumpla las condiciones anteriores, indique en que teorema se basa para definirla y justifique que se cumple su hipótesis.
b) Si
M(T)B, B =
0 0 0
0 0 0
0 0 1
es la matriz asociada a una TL con las condiciones dadas, escriba una base B y justifique.


Tengo una idea de como hacerlo pero no estoy seguro, no tengo los resultados. Gracias!
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 15-12-2012 10:43 por thundEr.)
13-12-2012 00:31
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thundEr Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: [Álgebra y Geometría Analítica] Ejercicio final de final - Transformaciones Lineales
Alguna idea?
13-12-2012 12:38
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thundEr Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: [Álgebra y Geometría Analítica] Ejercicio final de final - Transformaciones Lineales
Nadie?
13-12-2012 16:57
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thundEr Sin conexión
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Mensaje: #4
RE: [Álgebra y Geometría Analítica] Ejercicio final de final - Transformaciones Lineales
Alguno me podrá dar una mano?
15-12-2012 10:42
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Mensaje: #5
RE: [Álgebra y Geometría Analítica] Ejercicio de final - Transformaciones Lineales
Uh..... disculpa colgue acá, geometricamente el núcleo esta generado por un plano, cuya dimension es 2, el complemento ortogonal es , geometricamente hablando, la normal del mismo.

a) Las bases de núcleo e imágen son

\[B_{Nu(T)}=\left \{ (1,1,0),(0,1,1) \right \}\quad B_{Im(T)}=\left \{ (1,-1,1) \right \}\]

definino la TL de la siguiente manera

\[\\T(1,1,0)=(0,0,0)\\ T(0,1,1)=(0,0,0)\\ T({\color{Red} 0,0,1})=(1,-1,1)\]

el vector que esta en rojo lo elijo YO de manera arbitraria, para poder definir la TL el teorema que necesitas para justificar, es el Teorema fundamental de las TL , que nos dice que una TL existe y

es unica si las bases del espacio vectorial V son LI, que podes comprobar a "ojo" con el vector que agregue

b) Observa que la TL es un endomorfismo que va de V en V, o sea las bases del "espacio de salida" son las mismas que en el "espacio de llegada", una base posible que defina esa matriz asociada

es la base canonica

\[B=\left \{ (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1) \right \}\]

¿cómo lo justificas?

observa que \[(0,0,1)\] es ortogonal a los vectores \[(1,0,0)(0,1,0)\] se cumplen las condiciones del enunciado, el nucleo esta generado por los dos ultimos, y la imagen por su

complemento ortogonal, o sea el primero.

Disculpas che, lo habia visto tu th pero se me paso =(

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 15-12-2012 13:46 por Saga.)
15-12-2012 13:45
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[-] Saga recibio 1 Gracias por este post
thundEr (15-12-2012)
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Mensaje: #6
RE: [Álgebra y Geometría Analítica] Ejercicio de final - Transformaciones Lineales
El a) lo había hecho bien, el b) pensaba que tenía que usar un cambio de base o algo así y que no podía usar la canónica. Muchas gracias =)
15-12-2012 16:56
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Saga Sin conexión
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Mensaje: #7
RE: [Álgebra y Geometría Analítica] Ejercicio de final - Transformaciones Lineales
(15-12-2012 16:56)thundEr escribió:  El a) lo había hecho bien, el b) pensaba que tenía que usar un cambio de base o algo así y que no podía usar la canónica. Muchas gracias =)

Es correcto lo que afirmas, pero para eso te tendrian que haber dado una base de uno de los espacios, por eso te aclare que T es un endomorfismo ;)

15-12-2012 19:07
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