Estaba resolviendo el final que dieron ayer de álgebra y me topé con este ejercicio.

Sabiendo que el núcleo de una transformación en R³ es
S = {(x,y,z) € R³ / x-y+z=0}
y que la imagen es su complemento ortogonal.

a) Defina una transformación lineal que cumpla las condiciones anteriores, indique en que teorema se basa para definirla y justifique que se cumple su hipótesis.
b) Si
M(T)B, B =
0 0 0
0 0 0
0 0 1
es la matriz asociada a una TL con las condiciones dadas, escriba una base B y justifique.


Tengo una idea de como hacerlo pero no estoy seguro, no tengo los resultados. Gracias!

Alguna idea?

Nadie?

Alguno me podrá dar una mano?

Uh..... disculpa colgue acá, geometricamente el núcleo esta generado por un plano, cuya dimension es 2, el complemento ortogonal es , geometricamente hablando, la normal del mismo.

a) Las bases de núcleo e imágen son

\[B_{Nu(T)}=\left \{ (1,1,0),(0,1,1) \right \}\quad B_{Im(T)}=\left \{ (1,-1,1) \right \}\]

definino la TL de la siguiente manera

\[\\T(1,1,0)=(0,0,0)\\ T(0,1,1)=(0,0,0)\\ T({\color{Red} 0,0,1})=(1,-1,1)\]

el vector que esta en rojo lo elijo YO de manera arbitraria, para poder definir la TL el teorema que necesitas para justificar, es el Teorema fundamental de las TL , que nos dice que una TL existe y

es unica si las bases del espacio vectorial V son LI, que podes comprobar a "ojo" con el vector que agregue

b) Observa que la TL es un endomorfismo que va de V en V, o sea las bases del "espacio de salida" son las mismas que en el "espacio de llegada", una base posible que defina esa matriz asociada

es la base canonica

\[B=\left \{ (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1) \right \}\]

¿cómo lo justificas?

observa que \[(0,0,1)\] es ortogonal a los vectores \[(1,0,0)(0,1,0)\] se cumplen las condiciones del enunciado, el nucleo esta generado por los dos ultimos, y la imagen por su

complemento ortogonal, o sea el primero.

Disculpas che, lo habia visto tu th pero se me paso

El a) lo había hecho bien, el b) pensaba que tenía que usar un cambio de base o algo así y que no podía usar la canónica. Muchas gracias

(15-12-2012 16:56)thundEr escribió:  El a) lo había hecho bien, el b) pensaba que tenía que usar un cambio de base o algo así y que no podía usar la canónica. Muchas gracias

Es correcto lo que afirmas, pero para eso te tendrian que haber dado una base de uno de los espacios, por eso te aclare que T es un endomorfismo