Tengo una duda con este ejercicio...


Teniendo \[\begin{bmatrix}a &0 &a-1 \\ 0 &-3 &4 \\ 0 &-8 &9 \end{bmatrix}=0\] , encontrar todos los valores de \[a\in \mathbb{R}\] para que \[A\] sea diagonalizable.


Lo que hice fue aplicar \[det(A - \lambda I)=0\], que es: \[\begin{vmatrix}a-\lambda &0 &a-1 \\ 0 &-3-\lambda &4 \\ 0 &-8 &9-\lambda \end{bmatrix}=0\]...


Hasta ahí, todo bárbaro, pero cuando llegué a que \[\lambda^3(-1)+\lambda^2(6+a)+\lambda(-5-6a)+(5a)=0\], no puedo seguir.



Alguno me puede ayudar con esto?

(20-11-2012 22:43)ps92 escribió:  Tengo una duda con este ejercicio...


Teniendo \[\begin{bmatrix}a &0 &a-1 \\ 0 &-3 &4 \\ 0 &-8 &9 \end{bmatrix}=0\] , encontrar todos los valores de \[a\in \mathbb{R}\] para que \[A\] sea diagonalizable.


Lo que hice fue aplicar \[det(A - \lambda I)=0\], que es: \[\begin{vmatrix}a-\lambda &0 &a-1 \\ 0 &-3-\lambda &4 \\ 0 &-8 &9-\lambda \end{bmatrix}=0\]...


Hasta ahí, todo bárbaro

concuerdo, pero despues no se que hiciste , para calcular el determinante te conviene tomar la columna 1, el polinomio caracteristico queda

\[(a-\lambda)[(-3-\lambda)(9-\lambda)+32]=(a-\lambda)(\lambda^2-6\lambda+5)=0\]

creo que ya podes continuar, cualquier duda ......

(21-11-2012 03:27)Saga escribió:  

(20-11-2012 22:43)ps92 escribió:  Tengo una duda con este ejercicio...


Teniendo \[\begin{bmatrix}a &0 &a-1 \\ 0 &-3 &4 \\ 0 &-8 &9 \end{bmatrix}=0\] , encontrar todos los valores de \[a\in \mathbb{R}\] para que \[A\] sea diagonalizable.


Lo que hice fue aplicar \[det(A - \lambda I)=0\], que es: \[\begin{vmatrix}a-\lambda &0 &a-1 \\ 0 &-3-\lambda &4 \\ 0 &-8 &9-\lambda \end{bmatrix}=0\]...


Hasta ahí, todo bárbaro

concuerdo, pero despues no se que hiciste , para calcular el determinante te conviene tomar la columna 1, el polinomio caracteristico queda

\[(a-\lambda)[(-3-\lambda)(9-\lambda)+32]=(a-\lambda)(\lambda^2-6\lambda+5)=0\]

creo que ya podes continuar, cualquier duda ......

Claro, hace un rato llegué hasta ahí y obtuve: \[\lambda _{1}=a\], \[\lambda _{2}=5\] y \[\lambda _{3}=1\].

Todo esto, sabiendo que para que A sea diagonalizable \[a\neq 1\] y \[a\neq 5\], porque tienen que ser 3 autovalores distintos...

Para \[\lambda _{1}=a\], obtuve que la base del subespacio asociado es \[\left \{ (1,0,0) \right \}\].

Para \[\lambda _{2}=5\], obtuve que la base del subespacio asociado es \[\left \{ (3,-\frac{1}{2},1) \right \}\].

Para \[\lambda _{3}=1\], obtuve que la base del subespacio asociado es \[\left \{ (-1,1,1) \right \}\].


Ahora, lo que no sé si está bien es poner como respuesta: "A es diagonalizable \[\forall a\in \mathbb{R}-\left \{ 1,5 \right \}\]"
No sé si es así, o si estoy poniendo algo mal...


Gracias por haber respondido!