Buenas! tengo unas dudas en los sgts. problemas:
P1 lo hice pero no se si esta bien.
P2 no se como me quedaría el solido y sobre que plano proyectarlo.
P3 puedo aplicar DIVf. No se si proyecte bien y si los limites de integración están bien..
Muchas gracias, saludos.
           

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De quien es el parcial?

(04-12-2014 23:41)CarooLina escribió:  

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De quien es el parcial?

Prof. Hernandez

1) lo tenes que hacer por el teorema del rotor joburu, entonces se cumple que

\[\omega=\int fds=\iint_R rot f n dA=\iint_R (R'_y-x,-R_x,z-2y)(0,0,1) dA\]

tomando polares sobre la region

\[\omega=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{4\sin t} (4-2r\sin t)rdrd\theta=0\]

wolfram

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2) conviene dejarlo en cartesianas y proyectar sobre el plano xz , entonces el volumen se puede calcular

\[V=\iint_{P_{xz}}\left ( \int_{0}^{x}dy \right )dxdz=\iint_{P_{xz}} xdxdz\]

haciendo un dibujo siemple sobre el plano xz , y haciendo que x dependa de z, deducis que

\[V=\iint_{P_{xz}} xdydz\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{9-z^2}} x dxdz=\frac{13}{3}\]

wolfram

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3) se cumplen las condiciones del teorema de la divergencia entonces

\[\varphi=\iint fnds=\iiint_V div f dV=\iiint 2z dV\]

nuevamente proyecto sobre el xz y defino la integral de volumen como

\[V=\iint_{P_{xz}}\left ( \int_{0}^{2-x} 2z dy\right ) dxdz=\iint_{P_{xz}}2z(2-x)dxdz\]

tomando polares sobre la proyeccion

\[V=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}[(2r\sin\theta)(2-r\cos\theta)]r drd\theta=\frac{20}{3}\]

wolfram

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4) Se cumplen las condiciones para ser un campo de gradientes entonces busco la funcion potencial la cual se obtiene de resolver

\[\frac{dU}{dx}=x+y\quad \frac{dU}{dy}=x-y\]

integrando y resolviendo

\[U(x,y)=\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}+xy+C\]

para hallar las lineas equipotenciales el potencial debe ser constante entonces

\[K=\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}+xy\]

la que pasa por el (1,1) tiene ecuacion

\[\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}+xy=1\]

para las lineas de campo solo hay que aplicar la definicion

\[\frac{dy}{dx}=\frac{Q}{P}=\frac{x-y}{x+y}\]

de donde la ED a resolver es

\[(x-y)dx=(x+y)dy\]

la cual es total exacta .. resolviendo y evaluando en el punto pedido la linea de campo pedida es

\[\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}-xy=-1\]

En el ejercicio 1, en los limites de la integracion ¿Por qué el radio va desde 0 a 4*sen(t)? ¿No deberìa ir desde 0 a 2? Como yo lo veo, para cualquier ángulo t, el radio va siempre desde 0 a 4, no?

EDIT: Ya entendí, es porque el círculo no tiene su centro en (0,0), entonces en coordenadas polares la distancia desde el origen de coordenadas hasta los bordes del círculo no es siempre 2.

depende donde tomes centro , yo tome centro en el (0,0) si tomas centro en (0,2) van los limites que decis