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[AGA] Plano paralelo a un eje que pasa por 2 puntos y mas
Autor Mensaje
marianaG Sin conexión
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Mensaje: #1
[AGA] Plano paralelo a un eje que pasa por 2 puntos y mas Ejercicios Álgebra y Geometría Analítica
[Imagen: Smart-Select-20190207-210642-Xodo-Docs.jpg]

Sé que si el plano es paralelo al eje Y, entonces el director tiene la forma (a,0,c) y el plano ax + cz + d =0
Sé que si resto los 2 puntos, tengo un director que tiene que ser perpendicular el director del plano (prod escalar = 0)
Se que si reemplazo esos puntos en el plano la ecuacion la igualidad tiene que mantenerse

Pero no tengo idea como despejar el plano que me piden (o sea obtener, a, c y d) jajaja (reir para no llorar), me ayudan?

Lo unico que se me ocurre es esto
director del paralelo al eje y = (a,0,c)
director del que contiene a los 2 puntos = (1,2,3)
tienen que ser perpendiculares (a,0,c) . (0,1,2) = 0
c=0

planteo ax +cz+d =0 ^ c= 0
ax + d = 0
reemplazo un punto que se que pertenece al plano
a(1) +d =0 ==> d = -a
=> ax - a = 0
divido todo por a
a (x - 1) = 0
entonces me quedaria x- 1 = 0

despues la interseccion de rectas dadas por 2 planos, planteo producto vectorial entre las normales de cada plano y me da (-k,-k,1)
para que la recta sea paralela al plano, tiene que ser perpendicular a su normal, entonces planteo producto escalar (1,0,0). (-k,-k,1) = 0, que da k=0
Con eso la recta queda r = (0,0,0) + j(0,0,1) (o sea basicamente el versor del eje z)
no esta incluida en el plano porque por ejemplo, (0,0,0) no satisface x-1= 0 .

Está bien =) ?

[Imagen: image.png]
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 08-02-2019 00:07 por marianaG.)
07-02-2019 22:33
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manoooooh Sin conexión
Profesor del Modulo A
Sin estado :(
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Ing. en Sistemas
Facultad Regional Buenos Aires

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Registro en: Feb 2017
Mensaje: #2
RE: [AGA] Plano paralelo a un eje que pasa por 2 puntos y más
Hola marianaG, bienvenida al foro.

Por favor no subas imágenes alojadas en servidores externos; en su defecto subilas al foro, y se sugiere que las que sean sobre preguntas sobre enunciados sean transcritas explícitamente en el mensaje. Además debés usar LaTeX para escribir la matemática. Tené en cuenta estas consideraciones para la próxima.



Con respecto al ejercicio:

(07-02-2019 22:33)marianaG escribió:  Lo único que se me ocurre es esto
director del paralelo al eje \(y = (a,0,c) \)
director del que contiene a los 2 puntos = \((1,2,3)\)
tienen que ser perpendiculares \((a,0,c) . (0,1,2) = 0\)
\(c=0\)

planteo \(ax +cz+d =0 \wedge c= 0\)
\(ax + d = 0\)
reemplazo un punto que se que pertenece al plano
\(a(1) +d =0 \Longrightarrow d = -a\)
\(\Longrightarrow ax - a = 0\)
divido todo por \(a\)
\(a (x - 1) = 0\)
entonces me quedaría \(x- 1 = 0\)

después la intersección de rectas dadas por 2 planos, planteo producto vectorial entre las normales de cada plano y me da \((-k,-k,1)\)
para que la recta sea paralela al plano, tiene que ser perpendicular a su normal, entonces planteo producto escalar \((1,0,0). (-k,-k,1) = 0\), que da \(k=0\)

Bien. Debés aclarar que podés dividir por \(a\) pues no es cero (si lo fuera no habría plano).

(07-02-2019 22:33)marianaG escribió:  Con eso la recta queda \(r = (0,0,0) + j(0,0,1)\) (o sea básicamente el versor del eje \(z\))
no está incluida en el plano porque por ejemplo, \((0,0,0)\) no satisface \(x-1= 0\).

Si bien es cierto que la recta no está contenida en \(\pi\), el punto \((0,0,0)\) no pertenece a \(r\).

Como sabemos que \(k=0\), la recta queda definida así: \[r:\begin{cases}x-y=0,\\x=2\end{cases}\equiv\begin{cases}x=y,\\x=2.\end{cases}\] Como nos piden determinar si la recta está contenida en el plano, deben ocurrir dos cosas:
  • Que el vector normal del plano sea perpendicular al vector director de la recta.
  • Que un punto cualquiera de la recta pertenezca al plano.
Mostraremos que la segunda condición falla.

Para buscar un punto cualquiera de la recta, debemos fijar alguna de sus variables. Por ejemplo, si elegimos \(z=0\) entonces el punto se obtiene resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones: \[\begin{cases}x=y,\\x=2\end{cases}\implies x=y=2,\] por lo que un punto que pertenece a la recta es \((2,2,0)\). Ahora bien, ¿pertenece al plano \(x-1=0\)? No, pues \(2-1\neq0\), por tanto la recta no está contenida en el plano.

Observá que la recta en cuestión se trata de una paralela al eje \(z\) y además paralela al plano \(x=1\).

Saludos.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 08-02-2019 23:33 por manoooooh.)
08-02-2019 23:28
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