No puedo con este ejercicio de Santamartina:
Hallar el flujo del campo \[f(x,y,z) = (-2y,2x,z)\] a través de la superficie
S1: \[(z-4)^2 = x^{2} + y^2\]
S2: \[x^2 + y^2 \leq 2z \leq 8\]

Las raíces me dan complejas, así que no puedo sacar la intersección y además estoy quemado por lo que seguramente me estoy comiendo algún detalle.
Ahora estoy dudando si es la parte superior de una superficie cónica corrida 4 unidades para Z+ y en ese caso se intersectan en z=4 o z=8 y ahí tengo todo, o es el casquete superior de una esfera, porque en este ejercicio casi idéntico Santa lo toma esfera:

esfera ???? yo veo un cono ahi con vertice en el (0,0,4) , lo podes continuar ?? sino lo resolvemos

La verdad que no me salé la parte de geometría, el flujo pedía hacerlo por definición y verificar por Gauss, pero sería flujo total = flujo del cono solo + flujo de la tapa (circunferencia en z= ?). El flujo de la tapa saldría simple si tuviera esa z y para el flujo total, divergencia = 1 y la proyección sobre el xy sale con cilíndricas empleando una integral triple donde el angulo varía entre 0 y 2π, el r entre 0 y un radio = ? que no se como sacarlo, y la z va desde la z despejada del cono a un plano z = ? que lo tendría que sacar igualando \[(z-2)^2 = 2z\] de donde despejo \[4z^2 - z + 4 = 0\] que es un polinomio de raíces complejas y ahí me vuelvo a trabar...
Y ese ejercicio que resolvió Santamartina, se equivocó no? No es una esfera esa superficie, ahí está entonces, me guíe más por lo que hizo él que por lo que me parecía.

nop... santa martina no hizo bien , fijate bien que esa superficie que el toma es la corona superior de una esfera a diferencia que en tu ejercicio vos tenes un cono si haces la distributiva del cuadrado en z notaras que una vez que agrupes variables que queda un z negativo lo cual corresponde a la ecuacion de un cono ... algebra , banca un toque que en un rato lo subo

nada

Sisi es verdad, lo pasé de memoria de lo que había hecho, igual sigue dando complejo

nada

Jajaja lo que es estar quemado por dios, gracias, era eso entonces, increíble