Buenas.

Tengo un problema con un ejercicio de la guía de Análisis II de FRA. Lo transcribo:

Se sabe que \[f(x; y; z)\] es un campo escalar con derivadas parciales continuas en \[\bar{p}_{0}\] y que la máxima derivada direccional es 3 y se produce en la dirección y sentido de \[\left (\frac{1}{\sqrt{14}}\: ; \frac{2}{\sqrt{14}}\: ; \frac{3}{\sqrt{14}}\: \right )\] (Por comodidad, lo voy a llamar \[\breve{v}\]). Calcular las derivadas parciales de \[f\] en \[\bar{p}_{0}\].


Cuestión, tengo estas ecuaciones:

Primero, la de la norma del gradiente, que lo definí así por comodidad \[\vec{\triangledown}_{f}(\bar{p}_{0})=(a; b; c)\]

\[\left \| \vec{\triangledown}_{f}(\bar{p}_{0}) \right \| = \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} = 3\]

sacando la raiz para que no hinche las pelotas queda \[a^{2}+b^{2}+c^{2}= 9\]

Planteo el producto escalar \[\vec{\triangledown}_{f}(\bar{p}_{0}) \cdot \breve{v}\] y reemplazo por los valores:

\[\frac{1}{\sqrt{14}}\, a+ \frac{2}{\sqrt{14}}\, b+ \frac{3}{\sqrt{14}}\, c = 3\]

La cuestión es que a partir de acá, me taré y no sé cómo seguir. Sé que me estoy comiendo algún dato que se desprende del hecho de que f es clase C1, o algo por el estilo, pero no logro ver qué.

¡Gracias!

No entiendo, ¿tenés que encontrar el vector gradiente?
En ese caso recorda que la dirección hacía donde más rapido crece la función es la del gradiente. Por lo tanto: ▼F(x,y,z)= lamda * V. Reemplazas en la otra y presto, fin del ejercicio. Espero se entienda.

Listo, le iba a dar doce mil vueltas al pedo. Básicamente hay que buscar el gradiente porque pide calcular las derivadas parciales.

¡Gracias!

Otra duda -.- con un ejercicio similar:

La temperatura de una esfera de metal sólida es inversamente proporcional a la distancia al centro de la esfera (que se considera centrada en el origen. Si la temperatura en el (1; 2; 2) es de 120º C:

a) Hallar la razón de cambio de la temperatura en el (1; 2; 2) en la dirección hacia el punto (2; 1; 3).

b) Demostrar que en cualquier punto de la esfera la dirección de máximo aumento de la temperatura está dada por un vector que apunta hacia el origen.

El punto a) me rompí la cabeza pensándolo. Lo único que pude sacar es la dirección en la que me piden la derivada y la dirección y sentido del gradiente, ya que sé que tiene misma dirección y sentido que el versor (-1/3; -2/3; -2/3). Me faltaría conocer el valor del gradiente, pero no puedo establecer la relación con ese 120º C.

El punto b) sé que es así pero no sé cómo demostrarlo. O sea, el enunciado mismo me dice que la temperatura es función inversa de la distancia al centro. Supongo que puedo usar el concepto del producto escalar con un vector genérico ¿nocierto?

Venía pisteando como un campeón para el parcial hasta que me encontré con estos ejercicios

¡Gracias!

El enunciado te da la funcion T(x,y,z) = 1 / (x^2+y^2+z^2)^(1/2). Con eso deberías poder hacer lo demás creo.

Sí, tendría que "acomodarla" para que cumpla la condición de que en el (1,2,2) vale 120.

Gracias

Cuando te habla de inversamente proporcional se refiere a T(x,y,z) = K / (x^2+y^2+z^2)^(1/2) , ahi reemplazas con lo que te dio y despejas K y para el punto "a" CREO que tenes q usar la formula que se puede usar cuando es diferenciable osea f´((a,b,c),v) = ▼f(a,b,c).v -----> v es versor

Entonces ▼f(a,b,c) lo podes sacar porque ya tenes T(x,y,z) y para "v" como vos estas en (1,2,2) y te pide EN LA DIRECCION de (2,1,3) vos tenes que hacer (1,2,2)-(2,1,3) = (-1,1,-1) y necesitas q sea versor osea dividis el vector de recien por 3^(1/2) ... entonces te queda "v" y ademas ▼f(a,b,c) que obviamente seria ▼f(1,2,2)... creo que es asi , pero yo tambien ando estudiando para el parcial asi que puede que me equivoque, saludos

Gracias, Nico, aunque el mensaje tiene unos días ya. Di el parcial al día siguiente, me fue bien

ah jaja, bueno genial entonces. Ahora esperemos q me vaya bien ami !