Buenas, estoy resolviendo el ej 5e del tp 10 de am2 que trata de integrales de superficie y flujo. Resulta que estoy resolviendo por un método que venía bien hasta este ej y no me da. Paso a explicar:

Dice, trozo de superficie cilíndrica \[X^{2}+Y^{2}=2X\] con \[X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\leq 4\] en el 1er octante.

Yo parametrice \[T(u,v)=(U, \sqrt{4-V^{2}-U^{2}}, V)\] luego sacó la derivada primera respecto de u y de v y hago el producto cruz. Lo que queda

\[||T'u(u,v) X T'v(u,v)||=\frac{2} \sqrt{4-V^{2}-U^{2}}\]

Reemplazando me queda

\[||T'u(u,v) X T'v(u,v)||=\frac{2} \sqrt{2U-U^{2}}\]

Hago la integral doble u entre 0 y 2 y v entre 0 y \[\sqrt{4-2U}\]

Y finalmente da 8 debiendo dar 4 alguna idea?

pero para que parametrizaste la esfera ?? te piden la area del cilindro no de la esfera

En realidad no parametrice la esfera al final cambie la componente Y por \[\sqrt {2X-X^{2}}\], en fin lo que quise hacer es proyectar sobre el plano XZ por que sino no se ve la figura (XY) o se superpone (YZ), vos decís que no está bien parametrizado?

Realmente no me sale este ejercicio no entiendo por que...

(10-02-2015 21:19)INGAR escribió:  Buenas, estoy resolviendo el ej 5e del tp 10 de am2 que trata de integrales de superficie y flujo. Resulta que estoy resolviendo por un método que venía bien hasta este ej y no me da. Paso a explicar:

Dice, trozo de superficie cilíndrica \[X^{2}+Y^{2}=2X\] con \[X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\leq 4\] en el 1er octante.

Yo parametrice \[T(u,v)=(U, \sqrt{4-V^{2}-U^{2}}, V)\]

Esa es la parametrizacion de la esfera, por eso te debe estar fallando el calculo

Una posible parametrizacion del cilindro en su forma vectorial es

\[g:R^3\to R^2/g(x,z)=(x,\sqrt{2x-x^2},z)\]

otra es completar cuadrados y aplicar senos y cosenos

\[g::R^3\to R^2/g(z,t)=(1+\cos t,\sin t,z)\]

Pero Saga fijate que al final cambió la parametrizacion de la esfera por la del cilindro. Es posible que no salga con este método? Y que tenga que usar la integral doble de la norma del gradiente de f(x,y,z) sobre el módulo de f'y? Ya qué usando esto último si me da...

Si es así, como se cuando usar un cálculo o el otro?

(11-02-2015 16:41)INGAR escribió:  Pero Saga fijate que al final cambió la parametrizacion de la esfera por la del cilindro.

En general siempre se parametriza la superficie sobre la cual te piden el calculo , ya sea del flujo area o circulacion, las demas son las restricciones, sobre la misma

Cita: Es posible que no salga con este método? Y que tenga que usar la integral doble de la norma del gradiente de f(x,y,z) sobre el módulo de f'y? Ya qué usando esto último si me da...

imposible , el gradiente es un caso particular de la definicion general que parte de la parametrizacion de una superficie

Cita:Si es así, como se cuando usar un cálculo o el otro?

siempre podes usar la definicion , vos tenes que usar la que mejor te convenga y entendas , para mi es mas simple usar directamente la definicion , ya que por experiencia ayudando aca , a

veces cuando proyectan hay errores involuntarios y por un numerito el resultado es incorrecto , observa que si tomo la forma vectorial de la superficie con senos y cosenos obtengo que

(te olvidaste aclarar que te piden el calculo en el primer octante)

\[A=\iint |g'_z\times g'_t| dA=\iint dA\]

los limites en funcion de mi parametrizacion son

\[A=\iint dA=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\sqrt{2-2\cos t}}dzdt=4\]

wolfram

como ves solo es un tema de cuentas nada mas , que no te asuste la raiz con el coseno ahi , aunque parezca una integral horrible es mas simple de lo que parece, y no seria necesaria la ayuda

de wolfram, igualmente la resolucion de integrales es tema de am1

Excelente... Ya me salió gracias!

Has sido de gran ayuda!