Dado \[\overrightarrow{V}_{x,y}=(y+xg(x),y^2)\], halle g(x) para que \[\overrightarrow{V}_{x}^{'}\perp \overrightarrow{V}_{y}^{'}\] con \[\overrightarrow{V}_{(1,1)} = (3,1)\]

No supe mucho que hacer aca, primero lo que hice fue plantear con el dato que dan que 3 = y + x*g(x) e 1=y^2 para cuando x=1=y y llegue a que g(x) = 2. Pero luego no supe como plantear lo de las derivadas ortogonales. Alguien me puede ayudar a resolverlo? Gracias!

tenes las condiciones iniciales

g(1)=2

ahora solo deriva V respecto de x e y y solo plantea que el producto escalar sea 0, eso por ser perpendiculares , tenes una ecuacion diferencial sencilla de resolver

El producto escalar estaria bien si lo hago asi:

\[(g_{(1)}+g_{(1)}^{'} ; 0)(1;2)=0\]?

resolviendo me queda

\[g_{(1)}+g_{(1)}^{'} =0\]

\[2+g_{(1)}^{'} =0\]

estoy bien con esto? porque la respuesta de la guia dice que g(x) = 2/x... pero cuando yo integro me da g(x) = 2x con el planteo de la ultima ecuación que hice.

NO NO .. jejeje vos tenes

\[\\v'_x=(g(x)+xg'(x),0)\\v'_y=(1,2y)\]

el producto escalar es (siendo y=g(x))

\[y+xy'=0\]

tenes las condiciones iniciales para hallar la constante , solo es cuentas ahora , lo podes seguir ???

ah!! llegue bien, mi error fue el reemplazar lso valores de x antes de hacer el producto escalar ahi llegue a resultado. gracias!!