Hola, me tomaron el siguiente ejercicio el otro día que no pude resolver, quería que alguien me ayude para ver como se resuelve:

Sea F la familia de curvas tales que la abscisa al origen de la recta tangente en cada punto es igual al producto de las coordenadas del punto. Halle la ecuación de la curva de dicha familia que pasa por (1;1)

Yo lo que llegue a plantear fue lo siguiente teniendo en cuenta la ecuación de una recta tangente:

\[-y_0=y^{'}(xy-x_0)\] y lo que hice fue reemplazar x0 e y0 por 1... pero la verdad no pude resolver la ED... sugerencias?

La recta tangente por definicion es

\[(y-y_0)=y'(x-x_0)\]

la ordenada al origen se da cuando y=0

\[-y_0=y'(x-x_0)\]

de donde

\[-y_0=y'(x-x_0)\]

luego

\[x=x_0-\frac{y}{y'}=x_0y_0\]

por comodidad en notacion \[x_0=x \quad y_0=y\]

operando tenes

\[y'(x-xy)=y\]

dividiendo todo por xy

\[y'\left ( \frac{1}{y}-1 \right )=\frac{1}{x}\]

ED de variables separables

jaja hice desastres xD Habia comenzado bien, pero despues se me complico, porque no hice como vos de tomar a X0 e Y0 como x e y.... ahi tuve problemas. Gracias!