Hola, el ejercicio pide mediante integrales dobles hallar el area de una circunferencia de radio R, se trata de superficie alabeada. Me gustaria saber porque en mi resolucion me da la mitad del area en lugar de la total. Pongo los pasos que hice:

\[x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\]

\[F'_x=2x\] ---> F'_x^2=4x^2
\[F'_y=2y\] ---> F'_y^2=4y^2
\[F'_z=2z\] ---> F'_z^2=4z^2

\[A=\int \int \frac{\sqrt{4x^2+4y^2+4z^2}}{|2z|}dx dy=\int \int \frac{\sqrt{4R^2}}{2z}dx dy=\int \int \frac{R}{z}dx dy=\int \int \frac{R}{\sqrt{-x^2-y^2+R^2}}dx dy=\int \int \frac{R}{\sqrt{-\varrho ^2+R^2}}\varrho\: d\varrho d\theta =R\int \int \frac{\varrho }{\sqrt{-\varrho ^2+R^2}}d\varrho d\theta =R(-\sqrt{-\varrho ^2+R^2})|^R_0 2\pi = 2\pi R^2\]

Porque me da la mitad? No logro verlo. Gracias!

(09-10-2014 12:19)nutters escribió:  Hola, el ejercicio pide mediante integrales dobles hallar el area de una circunferencia de radio R, se trata de superficie alabeada. Me gustaria saber porque en mi resolucion me da la mitad del area en lugar de la total. Pongo los pasos que hice:

\[x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\]

\[F'_x=2x\] ---> F'_x^2=4x^2
\[F'_y=2y\] ---> F'_y^2=4y^2
\[F'_z=2z\] ---> F'_z^2=4z^2

\[A=\int \int \frac{\sqrt{4x^2+4y^2+4z^2}}{|2z|}dx dy=\int \int \frac{\sqrt{4R^2}}{2z}dx dy=\int \int \frac{R}{z}dx dy=\int \int \frac{R}{\sqrt{-x^2-y^2+R^2}}dx dy=\int \int \frac{R}{\sqrt{-\varrho ^2+R^2}}\varrho\: d\varrho d\theta =R\int \int \frac{\varrho }{\sqrt{-\varrho ^2+R^2}}d\varrho d\theta =R(-\sqrt{-\varrho ^2+R^2})|^R_0 2\pi = 2\pi R^2\]

Porque me da la mitad? No logro verlo. Gracias!

area de la circunferencia , o el area de una esfera ??? que yo recuerde el tp 10 es de integrales de superficie para calculos de areas de superificie, te da la mitad porque de la manera que lo estas haciendo solo estas considerando la corona superior de la esfera ya que el z toma valores positivos y negativos , podes acotar al primer octante y despues multiplicar por 8 (solo para ahorrar cuentas) con eso deberia salir

Ah, no se porque puse circunferencia... sisi, es de una esfera el area

si suponete que yo no quiero conciderar la parte del z positivo, y quiero considerar toda la esferatendria que "desplazar" el centro de la esfera?

al aplicar de la manera que hice yo el calculo de integral doble, siempre se calcula la parte de z positivos no?

(09-10-2014 13:58)nutters escribió:  si suponete que yo no quiero conciderar la parte del z positivo, y quiero considerar toda la esferatendria que "desplazar" el centro de la esfera?

El tema es que tomando coordenadas cilindricas (o polares una vez que este la region proyectada sobre xy) no hay forma de considerar toda la esfera , por eso si o si tenes que trabajarla primero con la parte positiva y despues con la parte negativa , otra no te queda, de hecho si observas bien tu resolucion , no se porque eliminaste asi tan alegremente las barras de valor absoluto de z , sin hacer ninguna consideracion previa, ahi tendrias que darte cuenta que por propiedades de valor absoluto te queda z y -z o sea dos partes para integrar , se entiende ?

El resultado que obtenes esta correcto pero estas calculando solo el area de la corona superior de la esferita , por simetria de la misma , a ese resultado multiplicado por 2 solucionado el asunto, o tambien como te dije acotarlo al primer octante y multiplicarlo por 8.

Para considerar toda la esfera entonces parametrizando la esfera en "coordenadas esfericas" , ya sea desde el polo o el ecuador tenes

\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} R^2 \sin w dwd\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} R^2 \cos w dwd\theta=4\pi R^2\]

Cita:al aplicar de la manera que hice yo el calculo de integral doble, siempre se calcula la parte de z positivos no?

en este caso si y por lo general si, mucho depende de las restricciones del ejercicio , como siempre digo no hay que mecanizar nada simplemente es razonarlo un poco

Ah genial! muchas gracias saga! siempre estas respondiendo ahora con lo del modulo de Z que me dijiste me di cuenta.