Bueno les dejo el 1° Parcial Análisis Matemático I tomado el 10/08/12 turno noche por el Prof. Gustavo Krimker.

(11-08-2012 10:37)Chernobyl89 escribió:  Bueno les dejo el 1° Parcial Análisis Matemático I tomado el 10/08/12 turno noche por el Prof. Gustavo Krimker.

Gran Aporte !

Gracias alguien tiene el recuperatorio que tomo Marta Zemleduch el 7/07/12 a las 19hs en Campus??

Tendrias las soluciones????

Me saqué un 9 en este parcial las respuestas más o menos las voy sacando mirándolo.

1) Para sacar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hallamos la derivada primera que es así:

1-2x^3
------------- Acá vemos cuando vale 0 (raíz cúbica de 1/2) y cuando no existe (cuando vale 0 el denominador, en este caso con -1 vale 0)
(1+x^3)^2

Y ahora vemos que pasa a izquierda y a derecha estos números (también podrías usar el criterio de la derivada segunda, pero bueno). Como lo de abajo es siempre positivo por estar elevado al cuadrado, miramos arriba: a izquierda del -1 podemos tomar -2 -> quedaría 1-2.(-8)= 17. Entonces como es positivo crece. En el intervalo (-1;raíz cúbica de 1/2) tenemos el 0, que nos queda 1; así que tambíen crece. Por último vemos a derecha de raíz cúbica de 1/2 y tenemos el 2 por ejemplo; nos queda como antes pero restando 1-2.8=-15 -> es negativo entonces la función decrece.

Los intervalos quedarían: I+=(-inf,-1) U (-1;raíz cúbica de 1/2) I-=(raíz cúbica de 1/2;+inf)

Para los puntos de inflexión hallamos la derivada segunda, que es así:

(6 x^2 (-2+x^3))
--------------------- La condición necesaria, pero no suficiente del punto de inflexión es que la derivada segunda valga 0.
(1+x^3)^3

Vemos que vale 0 en x=0 y x=raíz cúbica de 2. Ahora se podría sacar la derivada tercera y reemplazar estos números, si da 0 NO es punto de inflexión, ahora si nos da distinto de cero ES punto de inflexión, pero simplemente vemos a izquierda y a derecha como antes. Aclaración: con -1 vemos un cambio de concavidad, pero en ese punto la función no es continua, así que no es punto de inflexión. Vemos que pasa alrededor del 0, con -1/2 nos da -/+ o sea negativo y con 1 lo mismo, tenemos -/+ también negativo. Com a izquierda y a derecha nos da negativo, no es punto de inflexión. Con raíz cúbica de 2 podemos usar de nuevo el 1 que nos daba negativo, y el 2 que vemos que nos da +/+ o sea +. Como hay un cambio decimos que raíz cúbica de 2 ES punto de inflexión.


2) a) Acá Gustavo mismo reconoció que se confundió al pedir la derivabilidad en x=1, quiso poner en 0. Así que es muuuuuy fácil, fijate que en x=1 la función ni siquiera es continua, f(1)=0, pero el límite da infinito. Si derivabilidad implica continuidad, vale el contrarrecíproco NO continuidad implica NO derivabilidad. Así que la función NO es derivable en x=1.

b) La derivada es bastante larga, pero simplificada y todo es así:

(2 sin(x) ((-1+x) x cos(x)+(1-2 x) sin(x)))
------------------------------------------ Fijate que el 2 sin(x) está multiplicando a todo, y como sin(pi)=0 => f ' (pi)=0
((-1+x)^3 x^3)


3) Lo primero que nos tienta es ver que pasa en x=2, de seguro hay una discontinuidad, pero tenemos que ver que pasa con el límite para ver si es evitable. Efectivamente al reemplazar el 2 en la raíz, nos da 0 y tenemos la maldita indeterminación de 0/0. Al dividir el polinomio por Ruffini, nos queda: (x-2)(x^2-3x+2) y si después hacemos la cuadrática nos queda (x-2)(x-2)(x-1), que con la raíz sería: sqrt [(x-2)^2(x-1)] --> sqrt es raíz cuadrada. Vamos al límite:

lím sqrt [(x-2)^2(x-1)] lím |x-2| sqrt(x-1)
x->2 -------------------- = x->2 -------------------- La raíz cuadrada de algo elevado al cuadrado nos queda módulo, así que tenemos que analizar a derecha
x-2 x-2 y a izquierda.

lím (x-2)sqrt(x-1) lim sqrt(x-1) = 1 lím -(x-2)sqrt(x-1) lím -sqrt(x-1) = -1
x->2+ -------------- = x->2+ x->2- ---------------= x->2-
x-2 x-2

Como el límite es distinto por izquierda que por derecha, decimos que en x=2 la función presenta una discontinuidad esencial (o no evitable como quieras llamarla) de 1ra especie con salto finito.

Ahora el Dom f = [1;2) U (2;+inf); pero en x=1 es continua, ya que existe f(1)=0 y el lím en x->1 también es 0, a izquierda no tiene sentido analizar porque la función NO existe.

Bueno, me corrió las cosas en el último ejercicio. Sigo por acá lo que queda.

3) b) No tiene asíntotas verticales, porque vimos que arriba tenemos un x-2 así que se anulan. Tampoco tiene asíntotas horizontales, si llevamos llevamos la raíz a TODA la fracción, el numerador nos queda de grado mayor al denominador (abajo tenemos x-2 al cuadrado y arriba algo de grado 3), por lo que el límite es infinito. Y con las asíntotas oblicuas nos pasa al revés, la pendiente es el límite cuando tiende a infinito de f(x)/x. Entonces x(x-2)=x^2-2x, y cuando lo elevamos al cuadrado para meterlo dentro de la raíz, nos queda de grado 4, ahora como el grado del denominador es mayor al grado del numerador, el límite da 0. Si la pendiente es 0, es una recta horizontal, pero vimos que no tenía asíntotas horizontales, así que la función NO tiene asíntotas de ningún tipo.

4) a) Dom f => tenemos ln(x-1) por lo que x-1>0 => x>1. El 0 y el -1 anulan el denominador, pero como tiene que ser x>1 nos queda que el Dom f = (1;+inf)

b) Bueno, la derivada de esto es paciencia, te dejo un link para que la veas. Derivada

5) Acá tenemos que pensar. Gustavo había dado una respuesta fácil con pitágoras y demás; pero la verdad que no me la acuerdo, yo la resolví parametrizando la circunferencia. La circunferencia sería: x=8 cost y=8 sen t (ese 8 es el radio)

La verdad que no me acuerdo en lo absoluto como lo hice, la base era 2x y la altura y, base por altura sobre 2 seria 2x.y/2 o sea x.y => 8 cos t (8+8 sen t)
Ahí tenes el área, pero no me acuerdo que usé para que me quede todo como seno, entonces con cuadrática sacaba t que es el ángulo y reemplazando en la ecuación te daba los lados. OJO: y es la altura, el lado es la hipotenusa del triángulito formado por y como cateto mayor y x como cateto menor.

EN CONCLUSIÓN el triángulo era equilátero (si es equilátero es isósceles) y la medida del lado era sqrt(192) cm, o sea, 8.sqrt(3) cm, o sea, 13.8564 cm.

La verdad que ahora lo quiero hacer y no me sale como poner en función de seno todo, porque sen^2 x + cos^2 x = 1 pero acá lo tengo sin elevar. Fijate que podes hacer, distribuí y te queda 64 cos t + 64 cos t sen t. Esto lo igualás a 0 para optimizarla, y así sacabas t, si se me prende la lamparita más tarde, lo pongo.

Saludos