¿Alguno podría plantear el 5? Realmente no logro darle la vuelta!

Hola!, Primero que nada muchas gracias por subir el final!
Puede ser que el 3) esté mal el enunciado? (APARTE de lo de el nucleo e imagen que tenian las mismas ecuaciones)

Me queda algo raro, miren:

Hallo el complemento ortogonal de S
\[S^{ort}=\{(1,1,-2,0),(0,0,0,1)\}\]
ademas:
\[w=\{(1,-2,1,0),(0,0,0,1)\}\]

Luego la interseccion de ambos me queda:
\[s^{ort}\cap w=\{(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}\] <----(EDIT:esto esta mal, ver respuesta de fedee90)
lo cual es de dimension 3
entonces por teorema de las dimensiones:
\[dim(S^{ort}+w)=dim(S^{ort})+dim(W)-dim(s^{ort}\cap W) = 1\]

PEERO aca el gran problema, ya que la suma de S(ort) y W, me da de dimension 3
\[S^{ort} + W = \{(1,1,-2,0),(1,-2,1,0),(0,0,0,1)\}\]
Ya que esos 3 vectores son LI..
Estoy haciendo algo mal o es el enunciado nomas?

A mi la interseccion me dio de Dimensión 1.
Fijate.. te quedó: \[S^\perp: (x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}/ 2y+z=0, x-y=0 \]
Si hacés la intersección de \[S^\perp\] con W queda
2y+z=0 , x-y=0 , x-z=0 , 2x+y=0 ... Si resolvés el sistema de ecuaciones te queda x=y=z=0
Como estamos en R4 el vector te queda (0,0,0,t) = t(0,0,0,1) entonces una base de la intersección da <(0,0,0,1)> y su dimensión es 1 (por lo tanto, la dimensión de la imagen debe ser 3)

Fijate que el teorema se cumple :
4 = 1 + 3
3 = 2 + 2 - 1

Sip ya vi qué hice mal. Gracias mil.

---

(03-03-2013 14:52)Feche escribió:  El 4)a) me dio con los resultados que les dieron ahí.... y en el 4)b) lo que hice fue hallar la matriz A... La matriz diagonal y la matriz A son semejantes, entonces A^100 = D^100 , y así verifique si daba esa cuenta, y era verdadera.... Eso es lo que hice yo en el final, no sabría decirte si está bien o mal :/ . Lo que decía en el final era que no era necesario hallar la matriz A....

Hola, el 4a) también me dio así, aunque lo hice por ruffini
Ahora con el 4b), el problema que veo es que dice "para b=1 y para todo a", pero si b=1, a es forzosamente igual a -2, entonces ya no es "para todo a", y menos todavia puedo diagonalizar A "para todo a".
Tonce que hacemos?

Edit: una amiga me dijo que el 4b) era para b=0, puede ser que te hayas confundido ahi con el enunciando o simplemente sera un tema distinto?

Alguien me puede explicar el 4 a)... o por lo menos como se empieza a resolverlo jajajaja...

(03-03-2013 22:53)Maribel escribió:  Alguien me puede explicar el 4 a)... o por lo menos como se empieza a resolverlo jajajaja...

Tenes que buscar los autovectores para el autovalor 1... si es autovalor doble, entonces tiene que generarte dos autovectores ! Fijate que valores van a tener que ser a y b para que eso se cumpla!

ya saque a=-2 y b=1...

si 1 es raíz doble me tenían que dar dos autovectores... y me dio resolviendo el ejercicio

"columna" = (1,1,0) y (2,0,1)

después para sacar el tercer autovector resolví el sistema y me dio "columna" (-2,-2,1)

y con esos autovectores arme la matriz P (matriz diagonal de A)

Esta bien?

Si , perfecto

jajaja Sr. Profesor ahora no me sale el punto 4b)...

Analizar la validez de la siguiete preposicion, para b=1 : A^100 (1,1,0) = (1,1,0)... para todo a perteneciente a reales...

Sonó morboso eso jaja.

Mucho no lo entendí... aparentemente, Si b=1 entonces A es diagonalizable. Como A es diagonalizable, se cumple que es semejante a la matriz D.
Entonces \[A^{100}=D^{100}\]\[A^{100}=D^{100} \rightarrow D^{100}.\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\] Lo cual verifica.

Pero la verdad que no me fije muy bien este ejercicio, me quedaron las dudas!

jajaja fue con onda... igual yo lo hice igual aunq tampoco lo entendi... bue... jajaja

Gracias por tu ayuda... mañana te sentas al lado mio???... jajajaja

Saludos!

Dale, así nos macheteamos las cosas! jajaja nos vemos

En realidad \[A^{100} = D^{100}\] me parece que no es correcto, la manera correcta de hacer las potencias de matrices es algo asi como la siguiente.

Primero hallas la matriz diagonal D (que se compone por los autovalores y NO los autovectores, guarda con eso).

Luego, tenes que hallar la matriz P, y \[P^{-1}\],
luego sabemos que \[D = P^{-1} A P\],
operando llegas a que \[A = P D P^{-1}\],
y se demuestra que: \[A^{n} = P D^{n} P^{-1}\]

La potenciacion de una matriz diagonal es algo trivial, simplemente potencias las diagonales.
Pero claro, tenes que hacer la multiplicacion completa de \[P D^{n} P^{-1}\]
(que obviamente es mucho mas facil que multiplicar 100 o mil veces una matriz por si misma).

Bueno, ese es el procedimiento, de ahi que me llamo la atención que te den b=1, porque, como dije antes, con b=1 quedan forzados los autovalores que ya hallamos en el 4a), por consiguiente a debe ser = -2 para que A resulte diagonalizable y se pueda realizar todo el procedimiento que describí recien., Luego, no podriamos probar lo que nos pide el enunciado ya que dice "para todo a", y con b=1 ya quedó particularizado para a=-2. Y ahi esta el problema xD
Si alguien hechar un poco de luz bienvenido sea.
(por cierto, hice la prueba haciendo de cuenta que el enunciado 4b) dijera b=0 y ahí sí tiene sentido)

(04-03-2013 00:25)xarhakos escribió:  En realidad \[A^{100} = D^{100}\] me parece que no es correcto, la manera correcta de hacer las potencias de matrices es algo asi como la siguiente.

Primero hallas la matriz diagonal D (que se compone por los autovalores y NO los autovectores, guarda con eso).

Luego, tenes que hallar la matriz P, y \[P^{-1}\],
luego sabemos que \[D = P^{-1} A P\],
operando llegas a que \[A = P D P^{-1}\],
y se demuestra que: \[A^{n} = P D^{n} P^{-1}\]

La potenciacion de una matriz diagonal es algo trivial, simplemente potencias las diagonales.
Pero claro, tenes que hacer la multiplicacion completa de \[P D^{n} P^{-1}\]
(que obviamente es mucho mas facil que multiplicar 100 o mil veces una matriz por si misma).

Bueno, ese es el procedimiento, de ahi que me llamo la atención que te den b=1, porque, como dije antes, con b=1 quedan forzados los autovalores que ya hallamos en el 4a), por consiguiente a debe ser = -2 para que A resulte diagonalizable y se pueda realizar todo el procedimiento que describí recien., Luego, no podriamos probar lo que nos pide el enunciado ya que dice "para todo a", y con b=1 ya quedó particularizado para a=-2. Y ahi esta el problema xD
Si alguien hechar un poco de luz bienvenido sea.
(por cierto, hice la prueba haciendo de cuenta que el enunciado 4b) dijera b=0 y ahí sí tiene sentido)

yo lo que plantee, y por la nota que me saque, creo que esta bien lo que puse... para que cumpla eso, es evidente que A^100 tiene que ser I, entonces SÍ vale que A^100=D^100 porque se tiene que cumplir que A^100=PD^100P^-1... o sea, D^100 tiene que ser I, asi se cancela y te queda P P^-1 = I entonces nos queda A^100 = I que es lo que tiene que pasar. Pero si b=1, los autovalores creo que eran 1, -3 y 4 (no me acuerdo bien), por lo que D sería: \[\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0\\ 0& 1 &0 \\ 0&0 & 4\end{pmatrix}\] y al elevarla a la 100, te quedan esos numeros a la 100 y lejos esta de darte la matriz identidad, porque -3^100 o 4^100 no da 1

Ahora hago el de complejos, estudie tanto algebra que puedo dar clases na mentira, ahora lo voy haciendo

(04-03-2013 01:39)feder escribió:  

(04-03-2013 00:25)xarhakos escribió:  En realidad \[A^{100} = D^{100}\] me parece que no es correcto, la manera correcta de hacer las potencias de matrices es algo asi como la siguiente.

Primero hallas la matriz diagonal D (que se compone por los autovalores y NO los autovectores, guarda con eso).

Luego, tenes que hallar la matriz P, y \[P^{-1}\],
luego sabemos que \[D = P^{-1} A P\],
operando llegas a que \[A = P D P^{-1}\],
y se demuestra que: \[A^{n} = P D^{n} P^{-1}\]

La potenciacion de una matriz diagonal es algo trivial, simplemente potencias las diagonales.
Pero claro, tenes que hacer la multiplicacion completa de \[P D^{n} P^{-1}\]
(que obviamente es mucho mas facil que multiplicar 100 o mil veces una matriz por si misma).

Bueno, ese es el procedimiento, de ahi que me llamo la atención que te den b=1, porque, como dije antes, con b=1 quedan forzados los autovalores que ya hallamos en el 4a), por consiguiente a debe ser = -2 para que A resulte diagonalizable y se pueda realizar todo el procedimiento que describí recien., Luego, no podriamos probar lo que nos pide el enunciado ya que dice "para todo a", y con b=1 ya quedó particularizado para a=-2. Y ahi esta el problema xD
Si alguien hechar un poco de luz bienvenido sea.
(por cierto, hice la prueba haciendo de cuenta que el enunciado 4b) dijera b=0 y ahí sí tiene sentido)

yo lo que plantee, y por la nota que me saque, creo que esta bien lo que puse... para que cumpla eso, es evidente que A^100 tiene que ser I, entonces SÍ vale que A^100=D^100 porque se tiene que cumplir que A^100=PD^100P^-1... o sea, D^100 tiene que ser I, asi se cancela y te queda P P^-1 = I entonces nos queda A^100 = I que es lo que tiene que pasar. Pero si b=1, los autovalores creo que eran 1, -3 y 4 (no me acuerdo bien), por lo que D sería: \[\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0\\ 0& 1 &0 \\ 0&0 & 4\end{pmatrix}\] y al elevarla a la 100, te quedan esos numeros a la 100 y lejos esta de darte la matriz identidad, porque -3^100 o 4^100 no da 1

Ahora hago el de complejos, estudie tanto algebra que puedo dar clases na mentira, ahora lo voy haciendo

Ojo.. que A sea diagonalizable, no significa que A^100 = D^100 ... son semejantes, eso significa que si multiplicas P^(-1).D^(100).P = A^(100)

Fijate en este ejemplo.\[A=\begin{pmatrix}1 &1 \\ 1& 1\end{pmatrix}\]. Su matriz diagonal es \[D=\begin{pmatrix}0 &0 \\ 0& 2\end{pmatrix}\]

Pero \[A^{6} \neq D^6\] , en cambio cumple \[A^{6} = P^{-1}.D^6.P\]