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[aporte] final am1 02/10/2014 [resuelto]
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Mensaje: #1
[aporte] final am1 02/10/2014 [resuelto] Finales Análisis Matemático I
Les paso el final tomado la ultima fecha resuetlo... se aceptan criticas

   

1) a)

puedo puedo dividir la integral en dos partes y expresarla como

\[\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{0}^{-a}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx\]

hago un cambio de variable en la primera integral

\[x=-t\to dx=-dt\quad x\to -a\quad t\to a\]

entonces

\[\\-\int_{0}^{-a}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{0}^{a}-f(-t)dt+\int_{0}^{a}f(x)=\\\\\\=\int_{0}^{a}f(-t)dt+\int_{0}^{a}f(x)dx\quad *\]

como f es impar se cumple que

\[-f(t)=f(-t)\]

reemplazando en *

\[\int_{0}^{a}f(-t)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{0}^{a}f(t)dt+\int_{0}^{a}f(x)dx=0\]

que es lo que se queria probar

como adicional (no lo pide el ejercicio) si f es par se cumple que

\[f(-t)=f(t)\]

reemplazando en *

\[\int_{0}^{a}f(-t)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(t)dt+\int_{0}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a} f(x)dx\]

b) puedo usar las propiedades de infinitesimos y principalmente la que dice que

\[\lim_{x\to a} f(x)=L\leftrightarrow f(x)=L+\phi(x)/\lim_{x\to 0} \phi (x)=0\]

hay que probar que

\[\lim_{x\to a}h(x)=\lim_{x\to a}f(x)g(x)=L_1L_2=L\]

usando la propiedad que mencione antes , nuestras hipotesis son

\[\lim_{x\to a} f(x)=L_1\leftrightarrow f(x)=L_1+\phi(x)_1/\lim_{x\to a} \phi (x)_1=0\]

\[\lim_{x\to a} g(x)=L_2\leftrightarrow f(x)=L_2+\phi(x)_2/\lim_{x\to a} \phi (x)_2=0\]

nuestra tesis

\[\lim_{x\to a} f(x)g(x)=L_1L_2\leftrightarrow f(x)g(x)=L_1L_2+\phi(x)/\lim_{x\to a} \phi (x)=0\]

si multiplico f por g entonces

\[\\f(x)g(x)=(L_1+\phi(x)_1)(L_2+\phi(x)_2)=L_1L_2+L_1\phi(x)_1+L_2\phi(x)_2+\phi(x)_1\phi(x)_2\]

por propiedades

infinitesimo por constante da otro infinitesimo en a

infinitesimo por infinitesimo da otro infinitesimo en a

entonces se cumple que

\[\lim_{x\to a}\phi(x)=0\]

por lo tanto

\[\lim_{x\to a} f(x)=L_1\]

\[\lim_{x\to a} g(x)=L_2\]

f y g son continuas en a

3) nos piden hallar la funcion f , entonces hay que integrar la derivada segunda dos veces , las condiciones iniciales son (por observacion de la recta tangente , que no es otra cosa que un polinomio

de taylor de grado 1 centrado en 0 asociado a f, se obtiene

\[f'(0)=4\quad f(0)=2\]

luego integrando una vez

\[f'(x)=\int \frac{x}{x^2+1}dx\]

si uso sustitucion

\[u=x^2+1\quad du=2xdx\]

la integral se transforma

\[f'(x)=\int \frac{x}{x^2+1}dx=\int \frac{du}{2u}=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C\]

evaluando la derivada en la condicion inicial se obtiente que C=4 entonces

\[f'(x)=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+4\]

integrando una vez mas para hallar f , si la hacen a pulmon primero, separarla por linealidad de la integral en dos integrales, luego a la primera hay que aplicar partes, despues una division de polinomios y con eso sale ,

la segunda es facil

\[f(x)=\int\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+4dx=\frac{1}{2}x(\ln(x^2+1)+6)-\tan^{-1} (x)+K\]

evualada en la condicion inicial K=2

finalmente

\[f(x)=\frac{1}{2}x(\ln(x^2+1)+6)-\tan^{-1} (x)+2\]

3) por el teorema fundamental derivo la funcion g

\[g'(x)=f(\sqrt{x^2})2x=2f(x)x\]

el enunciado me asegura que g tiene un minimo relativo entonces se cumple que

\[g'(1)=f(1)=0\]

sabemos que si una funcion presenta un minimo entonces su derivada segunda evaluada en el punto es mayor o igual a 0 , entonces derivo otra vez g por regla del producto

\[g''(x)=2f'(x)x+2f(x)\]

luego

\[g''(1)=2f'(1)+2f(1)\geq 0\]

pero

\[f(1)=0\]

finalmente

\[f'(1)\geq 0\]

que es lo que se queria probar

4) observar que no nos piden el valor de la integral , solo nos piden si CV o DV entonces la reescribo como

\[\int_{-3}^{+\infty} f(x)dx=\int_{-3}^{0} -f(x)dx+\int_{0}^{1} f(x)dx+\int_{1}^{+\infty} f(x)dx\]

si al menos una diverge , entonces la suma diverge , analizo la tercera que es de terminos positivos , considero

\[\int_{1}^{+\infty} g(x)dx =\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}dx\]

con k=1 DV , si el limite entre el cociente de f y g es distinto de 0 o de infinito , significa que ambas tienen el mismo caracter entonces

\[\lim_{x\to \infty}\frac{\dfrac{x}{x^2+9x+20}}{\dfrac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^2+9x+20}=1\]

por lo tanto

\[\int_{-3}^{+\infty}\frac{|x|}{x^2+9x+20}dx\quad DV\]

5) aplicando el criterio de la raiz de cauchy entonces

\[\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=|x-1|<1\to-1<x-1<1\to 0<x<2\]

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 09-12-2014 03:08 por Saga.)
05-10-2014 00:07
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[-] Saga recibio 13 Gracias por este post
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Mensaje: #2
RE: [aporte] final am1 02/10/2014 [resuelto]
gracias saga!!! con este parcial me lleve un hermoso 2 wall asi que me viene bien para practicar para fin de año
05-10-2014 11:42
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Mensaje: #3
RE: [aporte] final am1 02/10/2014 [resuelto]
no es nada pikachui, voy a empezar a subir finales resueltos de am1 asi les queda para practicar, siempre revisen las cuentas o si me mande algun moco avisen thumbup3

05-10-2014 12:50
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Mensaje: #4
RE: [aporte] final am1 02/10/2014 [resuelto]
Saga, permitimeló agregarlo al recopilatorio de finales de AM1.

Se agradece.


ANÁLISIS MATEMÁTICO I: Finales (2010-2016).
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FÍSICA I: Ejercicios resueltos.
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LEGISLACIÓN: Resumen.

ARQUITECTURA DE COMPUTADORES: Resumen con Apuntes.
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09-10-2014 17:32
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Mensaje: #5
RE: [aporte] final am1 02/10/2014 [resuelto]
si dale sin drama pablit thumbup3

09-10-2014 21:29
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Mensaje: #6
RE: [aporte] final am1 02/10/2014 [resuelto]
Saga, en el 1)a) fijate que se puede pensar en una función por partes definida en el intervalo [-a;a] tal que esa integral valga cero.
Fijate que pasa con una función que valga 1/2 en [0;a] y que valga -x/a en [-a;0), en este caso la integral vale cero pero la función no es impar.
12-10-2014 11:23
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Mensaje: #7
RE: [aporte] final am1 02/10/2014 [resuelto]
(12-10-2014 11:23)ivaaan escribió:  Saga, en el 1)a) fijate que se puede pensar en una función por partes definida en el intervalo [-a;a] tal que esa integral valga cero.
Fijate que pasa con una función que valga 1/2 en [0;a] y que valga -x/a en [-a;0), en este caso la integral vale cero pero la función no es impar.

pero esa funcion que propones es discontinua en 0 basta analizar los limite cuando x se acerca al origen por izquiera y derecha , no cumple la condicion suficiente de integrabilidad para una funcion por tramos , de hecho

en el enunciado te dicen, f es continua en [-a,a] ivaaan

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 12-10-2014 14:30 por Saga.)
12-10-2014 14:16
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Mensaje: #8
RE: [aporte] final am1 02/10/2014 [resuelto]
Em, no en el enunciado no dice que f es continua en su dominio. Y por eso podes armar una funcion continua a tramos (que sigue siendo integrable por riemann) que haga que esa integral de cero sin ser impar...
20-10-2014 23:14
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RE: [aporte] final am1 02/10/2014 [resuelto]
(20-10-2014 23:14)ivaaan escribió:  Em, no en el enunciado no dice que f es continua en su dominio.

estem... si te fijas bien lo dice (curso basico , introductorio modulo B), ademas que la funcion que propusiste antes es discontinua en 0 no cumple las hipotesis del enunciado

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 20-10-2014 23:28 por Saga.)
20-10-2014 23:25
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RE: [aporte] final am1 02/10/2014 [resuelto]
Gracias por el aporte! Me falta esta y AyGA para terminar con los finales de 1ro. En Diciembre voy por este.

me asombra la voluntad del instinto
21-10-2014 00:12
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Mensaje: #11
RE: [aporte] final am1 02/10/2014 [resuelto]
(05-10-2014 00:07)Saga escribió:  1) a)

puedo puedo dividir la integral en dos partes y expresarla como

\[\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{0}^{-a}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx\]

hago un cambio de variable en la primera integral

\[x=-t\to dx=-dt\quad x\to -a\quad t\to a\]

entonces

\[\\-\int_{0}^{-a}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{0}^{a}-f(-t)dt+\int_{0}^{a}f(x)=\\\\\\=\int_{0}^{a}f(-t)dt+\int_{0}^{a}f(x)dx\quad *\]

como f es impar se cumple que

\[-f(t)=f(-t)\]

reemplazando en *

\[\int_{0}^{a}f(-t)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{0}^{a}f(t)dt+\int_{0}^{a}f(x)dx=0\]

que es lo que se queria probar

Saga, acá está el error de tu demostración, en ningún momento te dice que la función es impar, eso es justo lo que querés probar. El dato que te dan es el de la integral definida, y de ahí no podes demostrar que f es impar.
25-10-2014 10:32
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RE: [aporte] final am1 02/10/2014 [resuelto]
Cambia el "f es impar" por "si f es impar" bla bla bla.............o sea tampoco me propones un contrajemplo que cumpla las hipotesis del enunciado, el que me dijiste anteriormente no las cumple

25-10-2014 16:06
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RE: [aporte] final am1 02/10/2014 [resuelto]
Y que pasa si f no es impar?
El contraejemplo esta bien, una función continua a tramos sigue siendo integrable mientras sea acotada en el intervalo de integración, la continuidad es condición suficiente pero no necesaria.
25-10-2014 16:22
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RE: [aporte] final am1 02/10/2014 [resuelto]
Tu contrajemplo no es valido porque ya te dije no cumple la condicion de ser continua en [-a,a] basta analizar el limite de tu ejemplo para darse cuenta de ello , todo lo que decis puede ser correcto pero no se adapta a las condiciones e hipotesis de nuestro enunciado

25-10-2014 17:15
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RE: [aporte] final am1 02/10/2014 [resuelto]
Te propongo otra función que es continua en el intervalo (aunque insisto que el enunciado no pide que sea continua si o si):

Una función que valga (-2/3)ax para [-a;0] y x^2 para [0;a]
Decime cuanto vale la integral definida y mostrame ahora que tan impar es.
25-10-2014 17:53
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