Subo el final que tomaron el 08/02/17.

Si alguien puede colaborar con la resolución sera bienvenido

Discreta que mal te veo

El enunciado del punto 4 está mal, ese día los profesores dijeron que el enunciado era el siguiente:
En el conjunto A = {a0,a1,a2,a3,a4,a5} se define

\[x^r.x^s=\begin{cases} \;\; \; x^{r+s} & \text{ si } r+s< 6 \\ x^{r+s-6} & \text{ si } r+s \geq6 \end{cases}\]

Se sabe que (A,*) es un semigrupo. Se pide probar que es un grupo, indicar si es conmutativo, dar todos los subgrupos y su red. Para el
subgrupo <a2> dar el conjunto cociente. Probar que es un grupo. Justificar cada afirmación.

Resolución:
Primero hay que armar la tabla:
* |a0|a1|a2|a3|a4|a5|
a0|a0|a1|a2|a3|a4|a5|
a1|a1|a2|a3|a4|a5|a0|
a2|a2|a3|a4|a5|a0|a1|
a3|a3|a4|a5|a0|a1|a2|
a4|a4|a5|a0|a1|a2|a3|
a5|a5|a0|a1|a2|a3|a4|

Por el enunciado del ejercicio sabemos que (A;*) es semigrupo, por lo tanto cumple:
1° LCI
2° Propiedad Asociativa
Ahora nos faltaría demostrar que (A;*) tiene elemento neutro y que cada elemento del conjunto tiene un elemento simétrico.
3° Como se puede apreciar en la tabla que construí, el elemento neutro es el que está coloreado en verde. Por lo tanto:
Elemento Neutro a0
4° El simétrico de cada elemento:
(a0)' = a0, (a1)'= a5, (a2)'= a4, (a3)'= a3, (a4)'= a2, (a5)'= a1

Entonces, como (A;*) cumple esas 4 propiedades podemos afirmar que es un GRUPO. Además es un GRUPO ABELIANO porque es conmutativa la operación. ¿Por qué es conmutativa? Porque hay simetría respecto de la diagonal principal.

Subrgrupos

\[<a^0> = \lbrace a^0 \rbrace\]
\[<a^1> = \lbrace a^2,a^3,a^4,a^5,a^0,a^1 \rbrace\]
\[<a^2> = \lbrace a^4,a^0,a^2 \rbrace\]
\[<a^3> = \lbrace a^0,a^3 \rbrace\]
\[<a^4> = \lbrace a^4,a^0,a^2 \rbrace\]
\[<a^5> = \lbrace a^2,a^3,a^4,a^5,a^0,a^1 \rbrace\]

Como se repiten algunos, queda así:
\[<a^0> = \lbrace a^0 \rbrace\]
\[<a^1> = \lbrace a^2,a^3,a^4,a^5,a^0,a^1 \rbrace = <a^5>\]
\[<a^2> = \lbrace a^4,a^0,a^2 \rbrace = <a^4>\]
\[<a^3> = \lbrace a^0,a^3 \rbrace\]

Red

   <a1>

   /  \

<a2>  <a3>

   \  /

   <a0> 

\[Subgrupo\; H = <a^2> = \lbrace a^4,a^0,a^2 \rbrace\]
\[H = <a^2> = \lbrace a^4,a^0,a^2 \rbrace\]

\[\frac{|G|}{|H|} = \frac{6}{3} = 2\]

\[a^0 = a^0 *H = a^0 * \lbrace a^4,a^0,a^2 \rbrace = \lbrace a^4,a^0,a^2 \rbrace\]
\[a^1 = a^1 * H = a^1 * \lbrace a^4,a^0,a^2 \rbrace = \lbrace a^5,a^1,a^3 \rbrace\]

Como ya encontré dos particiones distintas no hace falta seguir buscando más, dado que el índice es 2. Además el subgrupo es normal porque la operación es conmutativa, lo cual quiere decir que las clases a derecha coinciden con las clases a izquierda. Entonces el conjunto cociente es:

\[G/H = \lbrace\lbrace a^4,a^0,a^2 \rbrace,\lbrace a^5,a^1,a^3 \rbrace\rbrace\]

Ahora queda por probar que el subgrupo H es un grupo. Para ello hay que realizar la tabla con los elementos del subgrupo:
* |a0|a2|a4|
a0|a0|a2|a4|
a2|a2|a4|a0|
a4|a4|a0|a2|

1) Cumple LCI
2) Acá demuestren ustedes que es asociativa.
3) Elemento Neutro: a0
4) (a0)'= a0, (a2)'= a4, (a4)'= a2

Por lo tanto, H es grupo.

1.c) \[Demostrar\; o\; refutar en\;\mathbb{Z}_{3}: (a+b)^3 = a^3 + b^3.\]
Primero desarrollo:
\[(a+b)^3\]
\[(a+b)^3 = a^3 +3a^2b + 3ab^2 + b^3\]
Como estoy en Z3, el 3 es un 0. Z3 = {0,1,2}. Por lo tanto:
\[(a+b)^3 = a^3 +0 + 0+ b^3 = a^3 + b^3\]

Corríjanme si está mal.
Saludos.

P.D: Aproveché y usé Latex en la resolución del punto 4

Hola

(31-07-2018 12:02)popotito28 escribió:  1.c) \[Demostrar\; o\; refutar en\;\mathbb{Z}_{3}: (a+b)^3 = a^3 + b^3.\]
Primero desarrollo:
\[(a+b)^3\]
\[(a+b)^3 = a^3 +3a^2b + 3ab^2 + b^3\]
Como estoy en Z3, el 3 es un 0. Z3 = {0,1,2}. Por lo tanto:
\[(a+b)^3 = a^3 +0 + 0+ b^3 = a^3 + b^3\]

Corríjanme si está mal.

Está bien. De todas maneras ya se resolvió aquí .

Saludos.