Hola, como estan? Estaba buscando ayuda para resolver el siguiente ejercicio, me dan una mano?

\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{ (-1)^{n}(X-1)^{n}}{3^{n}(n+4)}\]

Gracias

Holaa!
Para sacar el radio de convergencia primero tenes que tomar el modulo

\[\sum_{n=0}^{\infty } \left | \frac{(-1)^{n}(X-1)^{n}}{3^{n}(n+4)} \right | = \sum_{n=0}^{\infty } \frac{\left |(X-1)\right |^{n}}{3^{n}(n+4)} \]

despues tomar por el criterio de la raiz de cauchy\[\lim n \to \infty \sqrt[n]{\frac{\left |(X-1)\right |^{n}}{3^{n}(n+4)}} = \lim n \to \infty \frac{\sqrt[n]{\left |(X-1)\right |^{n}}}{\sqrt[n]{3^{n}}\sqrt[n]{(n+4)}} = \frac{\left |(X-1)\right |}{3} < 1\]

por lo que te queda

\[\left |(X-1)\right | < 3\]
\[-3 < X-1 < 3\]
\[-2 < X < 4\]

fijate si hasta aca esta bien, quedaria ver si converge en -2 y en 4 reemplazando en la formula original donde esta la X

Saludos!

te hago una pregunta, que me quedo la duda

cuando reemplazo x por -2, me queda, con criterio de integral de cauchy, que es divergente
y cuando reemplazo por 4, con criterio de leibniz (ya que es alternada no creciente), que es convergente.

que puedo resolver de esto? llegue hasta aca y no se como seguir

muchas gracias

no se que pedia el ejercicio, pero si todo lo que pide es el intervalo de convergencia tenes como resultado que es
(-2, 4]