Muchachos, me tomaron un ejercicio de plano en el curso de verano de álgebra que me está rompiendo la cabeza desde ayer, decía así:
Una recta L definida por: x+y=4 y 2y+z=6 y un plano pi: x+y+az+b=0. Me pedía hallar todos los planos que distan "raiz de 2" de la recta... Lo planteé de mil maneras y no pude llegar a la respuesta

PD: Perdón por la manera de escribirlo, intente usar el editor de fórmulas y no supe.

Pregunta... esta bien la ecuacion del plano?? como hay dos variables x.. solo es una pregunta .... antes de empezar la resolucion

(05-03-2013 20:37)Saga escribió:  Pregunta... esta bien la ecuacion del plano?? como hay dos variables x.. solo es una pregunta .... antes de empezar la resolucion

Ahí la corregí

A ver si interpreto bien .... supongo que el enunciado es "hallar los valores de a y b tal que la distancia de la recta al plano sea raiz de 2, es unico el plano que cumple tal condicion" creo que es asi...

Para empezar, necesariamente para que exista una distancia unica entre una recta y un plano.. ambos deben ser paralelos, primero expresamos la recta L de manera vectorial

\[L(y)=(4-y,y,6-2y)\quad y\in R\]

por definicion, si la recta y el plano son paralelos entonces su director y la normal son perpendiculares, \[n=(1,1,a)\quad d_L=(-1,1,-2)\] entonces

\[n.d_L=(1,1,a)(-1,1,-2)=-2a=0\to \boxed{a=0}\]

reemplazando el valor de a en el plano obtenes que

\[\pi: x+y+b=0\]

para no perder generalidad tomamos un punto generico de la recta L \[P(4-y,y,6-y)\], utilizamos la formula de la distancia de un punto a un plano

\[d(P,\pi)=\frac{|x+y+b|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|4-y+y+b|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\]

de donde

\[|4+b|=2\to 4+b=2\quad \vee\quad 4+b=-2\]

finalmente \[\boxed{b=-2\quad \vee \quad b=-6}\]

entonces los planos pedidos son de la forma

\[\\\pi_1: x+y-2=0\\\pi_2: x+y-6=0\]

espero haberlo pensado bien y no haber flasheado en ningun lado.... si tenes las respuestas un golazo