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Ayuda con el ejercicio 5)f) del tp 10
Autor Mensaje
juanizb Sin conexión
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Sin estado :(
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Ing. Mecánica
Facultad Regional Buenos Aires

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Mensaje: #1
Ayuda con el ejercicio 5)f) del tp 10 Ejercicios Análisis Matemático II
Hola, queria saber me pueden dar una mano con este ejercicio muchas gracias.
Calcule el area de la superficie frontera del cuerpo definido por:
\[x^{2}+y^{2}\leq 1\wedge 0\leq z\leq \sqrt{x^{^{2}}+y^{2}} \]
20-11-2013 20:30
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Saga Sin conexión
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Ing. Industrial
Facultad Regional Buenos Aires

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Mensaje: #2
RE: Ayuda con el ejercicio 5)f) del tp 10
juanizb la definicion de area es

\[A=\iint ||g'_u\times g'_v||dudv\quad \times=\mbox{producto vectorial}\]

tenes que calcular tres areas, definidas como

\[\\A_1: z=0\quad\mbox{con}\quad x^2+y^2\leq 1\\\\ A_2: x^2+y^2=1\quad\mbox{con}\quad 0\leq z\leq 1\\\\A_3: z=\sqrt{x^2+y^2}\quad\mbox{con}\quad 0\leq z\leq 1\]

para A1 parametrizo y expreso la funcion vectorial

\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=(x,y,0)\]

la norma de el producto vectorial de los elementales es igual a 1 luego sobre la proyeccion sobre el xy tomo polares, finalmente

\[A_1=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}rdrdt=\pi\]

para A2 parametrizo y expreso la funcion vectorial

\[f:R^2\to R^3/f(z,t)=(\cos t,\sin t,z)\]

la norma de el producto vectorial de los elemantales es 1 , no hay restricciones angulares , entonces

\[A_2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}drdt=2\pi\]

para A3 parametrizo y expreso la funcion vectorial

\[h:R^2\to R^3/h(r,t)=(r\cos t,r\sin t,r)\]

la norma de el producto vectorial de los elementales es \[\sqrt{2}r\] entonces

\[A_3=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\sqrt{2}rdrdt=\sqrt{2}\pi\]

finalmente el area total es la suma de A1+A2+A3

\[\boxed{\boxed{ A_T=(3+\sqrt{2})\pi}}\]

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 24-11-2013 00:37 por Saga.)
23-11-2013 22:42
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