Sean las transformaciones lineales F:R^2 -> R^3 / F(1,1)=F(0,1)=(0,1,2) y G:R^3 -> R^2 tal que su matriz asoaciada respecto de las bases canónicas es: A= \[\begin{pmatrix}1 & K & 0\\1 & 0 & -2\end{pmatrix}\]
Hallar todos los valores de k para los cuales el vector (2,3) pertenece a la imagen de G o F.

T(v+w)=T(v)+T(w)
T(a.v)=a.T(v) si "a" pertenece a los reales

Teniendo en cuenta eso haces

T[2.(1,1)+(0,1)]=2.T(1,1)+T(0,1)=2.(0,1,2)+(0,1,2)=(0,3,6)=T(2,3)

Entonces lo transformado por F, lo toma G. O sea, tenés que calcular G(0,3,6)

Como no podes hallar la imagen así nomás, entonces, tenes que buscar los valores de K para que pertenezca al núcleo

Haces:

\[\begin{pmatrix}1 & K & 0\\ 1& 0 & -2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}0\\ 3\\ 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}\]

Te queda 3K=0, -2.6=0, un absurdo... por lo cual para cualquier valor de K, el vector (2,3), que en la composición es (0,3,6), estará en la imagen y no en el núcleo.

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Por si no quedó claro

(2,3)=2*(1,1)+(0,1), que estos son los vectores que te dan como dato. Salut!!

Gracias lo q si no entendi mucho
1)no logro darme cuenta como notas que esta dos veces el (1,1) ...
2) por que no puedo hallar directamente la imagen?
3) que tendria que ver que como no se puede hallar la imagen pertenezca al nucleo?
4) por q no puedo igualar la matriz por (0,3,6) al (2,3) en vez de al (0,0)?

TENGO TRANSFORMACIONES LINEALES MEDIO MEDIO AL TEMA POR ESO NO ENTIENDO ALGUNAS COSAS. GRACIAS

1. Lo noto porque lo veo "al ojo", igual se demuestra del siguiente modo:

(2,3)=a*(1,1)+b*(0,1), te queda el sistema de ecuaciones

2=a*1+b*0
3=a*1+b*1

Se ve que a=2 y b=1;

2. Podes hallar la imagen, pero es más fácil demostrar algo falso que algo que es verdadero (para este caso, en el que no es evidente el resultado). Esas cuestiones las vas aprendiendo con la práctica.

3. No dije que no se pueda hallar la imagen, es como lo que acabo de decir: es más fácil encontrar el núcleo (desde mi punto de vista), que hallar la imagen.

4. Porque vos estas trabajando en "tres" espacios: el dominio de F, cuya imagen es el dominio de G, cuya imagen es lo transformado por G. Entonces, vos agarras un vector en R^2, le aplicas F y te devuelve un vector en R^3; a éste vectorcito le aplicas G y te devuelve un vector en R^2. Eso es composición de TL.
Ahora, ¿por qué no el (2,3) y sí el (0,0) en el segundo miembro de la igualdad?
*Primero porque estoy buscando el núcleo de G, ó sea, los vectores que aplicándoles G, me devuelva el vector 0.
Acordate que si tenes una transformación lineal que va de R^n -> R^m, se define el núcleo como: Nu(T)={v que pertenecen a R^n/ T(v)=0}
*Segundo, porque el vector (2,3) está en el "dominio" de F, no de G.

Espero que te haya quedado claro. Cualquier cosa sigue consultando