Buenas, si alguno me podría dar una mano con este ejercicio, ya que lo planteo y resuelvo pero no consigo la solución correcta

Enunciado

Gracias

Podes subir la imagen aca al foro, ya que despues suelen caerse los servidores donde estan alojados y queda una respuesta sin sentido, y tambien si podes subir tu planteo te podemos orientar

(16-11-2018 09:52)Saga escribió:  Podes subir la imagen aca al foro, ya que despues suelen caerse los servidores donde estan alojados y queda una respuesta sin sentido, y tambien si podes subir tu planteo te podemos orientar

Gracias por la respuesta, en cuanto vuelva a mi computadora lo resubo.

Yo tengo planteado lo siguiente:



Esas dos ecuaciones son los límites de integración respecto de z

La densidad(x,y,z) = K. |z|

El x y lo paso a polares. Entonces los límites de integración de z son esas dos ecuaciones traduciendo x e y a polares

|z| = radio

Tita (ángulo) va desde 0 a 2pi ya q es un círculo completo.

Pero mi problema es el radio, ya que no se como sacar sus límites de integracion

Al principio pensé que era de 0 a 2 pero no es la solución.

Disculpen si ko puedo usar látex. Estoy desde el celular y se me complica

Gracias y saludos

Subo la imagen para que no se pierda

Hola

(16-11-2018 10:10)Phiiliip077 escribió:  Esas dos ecuaciones son los límites de integración respecto de z

Bien. Para saber cuál es el límite inferior y superior es suficiente con hacer la gráfica y ver qué superficie está por encima y por debajo (es de tipo 1).

(16-11-2018 10:10)Phiiliip077 escribió:  La densidad(x,y,z) = K. |z|

¡No! Es un error bastante grueso. Estás confundiendo la distancia de un punto al plano xy, es decir, al plano z=0 (que sería |z| o simplemente z por estar la gráfica siempre en el semieje positivo) con la distancia del punto al eje OZ (a una recta), que es √(x^2+y^2). Como si en un campo de fútbol confundieras la distancia de la pelota al poste con la distancia de la pelota al suelo.

(16-11-2018 10:10)Phiiliip077 escribió:  El x y lo paso a polares. Entonces los límites de integración de z son esas dos ecuaciones traduciendo x e y a polares

|z| = radio

Tita (ángulo) va desde 0 a 2pi ya q es un círculo completo.

Pero mi problema es el radio, ya que no se como sacar sus límites de integracion

Al principio pensé que era de 0 a 2 pero no es la solución.

En cilíndricas resulta

\[\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\y=\rho\sin\theta\\z=z.\end{cases}\]

La proyección de la curva intersección sobre el plano xy es x^2+y^2=1, es decir es la circunferencia de centro cero y radio 1. Integramos en el interior de esa circunferencia. Entonces los límites en cilíndricas son:

\[\begin{cases}0\leq\rho\leq1\\0\leq\theta\leq2\pi\end{cases}\]

y la coordenada z comprendida entonces entre las dos superficies:

\[2x^2+y^2\leq z\leq2-y^2,\qquad\text{es decir}\qquad\rho^2+\rho^2\cos^2\theta\leq z\leq2-\rho^2\sin^2\theta.\]

La integral es por tanto

\[\iiint_M{k\sqrt{x^2+y^2}\,\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz}=k\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\int_0^1\mathrm d\rho\int_{\rho^2+\rho^2\cos^2\theta}^{2-\rho^2\sin^2\theta}{\rho\cdot\rho\,\mathrm dz}.\]

Sale fácil. ¿Podés concluir?

Saludos.

P.D. Es conveniente que los títulos sean descriptivos. Considerá que uno elige qué preguntas leer de acuerdo a su título, así que un mensaje titulado "[Ayuda] Ejercicio de Am2"...