Estoy en pelotas con este tema. No se como empezar los ejercicios. Me faltan conceptos.
Si me pueden decir que cosas tengo que pensar y por donde arrancar en estos ejercicios estaria muy agradecido.

No puedo abrir la imagen acá, pero si estas en bolas yo te recomendaria, en este orden, aprender:

-Definicion de TL (transformacion lineal)
-Propiedades de las TL
-Nucleo, Imagen
-Teorema fundamentas de las TL
-Matriz asociada a una TL

Vamos por el primero... los otros para despues ahora estoy en el trabajo

1) defino una transformacion lineal de la siguiente manera

T(1,1,0)=(0,0,0,0)

T(3,2,2)=(0,0,0,0)

el otro vector que me falta lo eligo yo, siempre y cuando sea li con los dos anteriores

entonces la TL queda definida como

T(1,1,0)=(0,0,0,0)

T(3,2,2)=(0,0,0,0)

T(1,0,0)=(1,2,1,0)

podes hallar la expresion analitica de T para poder calcular las imagenes de los vectores dados , lo sabes hacer ??

en un rato te voy contestando los otros

Evidentemente no se hacer lo de hallar la expresión analítica porque me quedó (2x-2y-z,4x-4y-2z,2x-2y-z,0)

decime que hiciste ... subilo en una imagen o latex, y los vamos viendo, evidentemente algo esta mal

\[T(x,y,z)=(2x-2y-z,4x-4y-2z,2x-2y-z,0)\]

eso es lo que te quedo pero si haces

T(1,0,0)

no se verifica que su imagen sea (1,2,1,0)

T(1,0,0)=(2,4,2,0)

hay algo que te olvidaste dividir te esta dando un equivalente

Bueno, plantee esta ecuación \[\left ( x,y,z \right )= a1(1,1,0)+a2(3,2,2)+a3(0,0,1)\]
Hice un gauss para tener los a1, a2 y a3 en funcion de x y z y me quedó:
\[a1=-2x+3y\]
\[a2=x-y\]
\[a3=2x-2y-z\]
Y eso lo incluí en la ecuación de arriba, entonces:
\[\left ( x,y,z \right )= (-2x+3y)(1,1,0)+(x-y)(3,2,2)+(2x-2y-z)(0,0,1)\]
Luego, reemplazé los vectores por sus imágenes:
\[\left f( x,y,z \right )= (-2x+3y)(0,0,0,0)+(x-y)(0,0,0,0)+(2x-2y-z)(1,2,1,0)\]
Y de ahí saqué la T.L. pero quedó cualquier cosa. supongo que está mal lo de poner a los vectores del núcleo en la ecuación.

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Ahi lo hice con el vector (1,0,0) y me dio (x-y-1/2z, 2x-2y-z, x-y-1/2z, 0) que cumple.
Fue muy bueno aprender esto!
Los de simetría lo voy a tratar de hacer solo.
Pero el punto 2 no se ni por donde empezar. El punto 3 creo que lo puedo hacer, es parecido al 1.

Los de simetría me parece que los hice mal.
La matriz ortogonal me quedó:
\[\begin{pmatrix}-5/13 &12/13 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\]
El determinante da cualquier cosa. Debería dar -1.
El de proyección no lo hice porque no se que te tiene que dar el determinante.

Pero me parece más importante si me pueden ayudar en el punto 2. No se que hacer.
Gracias.