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Cómo demostrar?
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cnlautaro Sin conexión
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Ing. en Sistemas
Facultad Regional Buenos Aires

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Registro en: Jun 2020
Mensaje: #1
Cómo demostrar?
Hola, chicos/as, cómo podría demostrar que esta expresión es irracional?
\[ 3\sqrt{2}\]
Hago lo siguiente:
\[ 3\sqrt{2} = \frac{a}{b} \]
\[ 18 = \frac{a^{2}}{b^{2}} \]
\[ 18 b^{2} = a^{2}\]
Esto quiere decir que \[ 18 b^{2} \] es par. Por lo tanto "a" es par. Que podría escribirse como 2k. La ecuación me quedaría así...
\[ 18 b^{2} = 2k^{2}\]
Luego no sé cómo seguir la demostración...
Gracias!
23-06-2020 13:14
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manoooooh Sin conexión
Secretario de la SAE

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Ing. en Sistemas
Facultad Regional Buenos Aires

Mensajes: 439
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Registro en: Feb 2017
Mensaje: #2
RE: Demostrar que \(3\sqrt{2}\) es irracional
Hola

(23-06-2020 13:14)cnlautaro escribió:  Hola, chicos/as, cómo podría demostrar que esta expresión es irracional?
\[ 3\sqrt{2}\]
Hago lo siguiente:
\[ 3\sqrt{2} = \frac{a}{b} \]
\[ 18 = \frac{a^{2}}{b^{2}} \]
\[ 18 b^{2} = a^{2}\tag*{(1)}\label{1}\]
Esto quiere decir que \[ 18 b^{2} \] es par. Por lo tanto "a" es par. Que podría escribirse como 2k. La ecuación me quedaría así...
\[ 18 b^{2} = 2k^{2}\]
Luego no sé cómo seguir la demostración...

Como \(a\) es par entonces \(a=2k\) para algún \(k\) entero. Luego \(a^2=(2k)^2=4k^2\). Si lo usamos en \(\ref{1}\) nos queda: \[18b^2=4k^2\implies9b^2=2k^2,\] o sea que \(9b^2\) es par. Ahora hay que demostrar que también \(b\) es par (esto es muy fácil mostrando que si \(b\) es impar luego \(9b^2\) es impar).

Finalmente, como \(a\) y \(b\) son números pares, va en contra de nuestra suposición de que \(a\) y \(b\) eran primos relativos (o sea \(a/b\) era irreducible). Como supusimos que era racional y llegamos a una contradicción, demostramos que \(3\sqrt{2}\) es irracional.

Saludos.

P.D. Cambié el asunto del mensaje por uno más descriptivo.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 23-06-2020 15:33 por manoooooh.)
23-06-2020 15:30
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cnlautaro Sin conexión
Empleado del buffet
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Ing. en Sistemas
Facultad Regional Buenos Aires

Mensajes: 21
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Registro en: Jun 2020
Mensaje: #3
RE: Cómo demostrar?
Gracias por la aclaración. Y por cambiar el asunto, es lo que quise poner en un principio pero no sé como escribir en Latex sin probocar saltos de líneas. Cómo hacés para agregar notaciones matemáticas en la misma línea?

(Ya lo pude resolver, muchas gracias de nuevo. No sé cómo borrar el mensaje)
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 23-06-2020 18:07 por cnlautaro.)
23-06-2020 17:55
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