Tengo una duda en la resolución de un limite en el ejercicio 10.3

Dice: Analizar la continuidad en el origen

d)

\[\frac{xy^3}{x^2 + y^6} si (x,y)\neq 0\]

\[0 si (x,y)= 0\]

Resolucion 1:
Hago
\[\lim_{(x,y)->(0,0)} \frac{xy^3}{x^2 + y^6}\]

\[\lim_{(x,y)->(0,0)} xy \frac{y^2}{x^2 + y^6} = 0\]

Como xy es un infinitésimo, infinitésimo por acotada da cero, por lo que el limite del campo tiende a cero en el punto (0,0).

Resolucion 2:

Acercamiento por el eje x(y=0)
\[\lim_{(x,y)->(0,0)} \frac{xy^3}{x^2 + y^6}\]

\[\lim_{x->0} \frac{0}{x^2} = 0\]

Acercamiento por la curva \[y^6 = xy^3 - x^2\]

\[\lim_{(x,y)->(0,0)} \frac{xy^3}{x^2 + xy^3 -x^2} =\]

\[\lim_{(x,y)->(0,0)} \frac{xy^3}{xy^3} = 1\]

\[=> \] No existe el limite del campo en el punto (0,0).


Con la resolución 1 al no usar una variable en función de otra no es suficiente para demostrar que el limite es cero ?

En los resultados de la guia dice que el campo no es continuo en (0,0), por lo que no estaría dando cero o no existiría.

Cualquier ayuda viene bien. Gracias !

pero la funcion solo esta acotada inferiormente , no superiormente , eso de infinitesimo por acotada se aplica cuando la funcion esta acotada superior e inferiormente

(14-05-2016 18:07)Saga escribió:  pero la funcion solo esta acotada inferiormente , no superiormente , eso de infinitesimo por acotada se aplica cuando la funcion esta acotada superior e inferiormente

Tenes razón, no habia tenido en cuenta los valores de y entre 0 y 1.

Lo que yo propuse se cumple para \[y\geq 1\]

Gracias !

de nada, igual re buscada tu curva para probar la no continuidad jejej con \[x=y^3\] y la radial y=0 era mas que suficiente jejej , pero esta perfecto