Estoy tratando de sacar el siguiente ejercicio, pero no se como empezar por probar las tres propiedades que me muestren si es de equivalencia o de orden, una manito?

En el conjunto Q de los números racionales, se define la siguiente relación: \[xRy \Leftrightarrow \exists z \epsilon Z / x=\frac{3y+z}{3}\]

Desde ya les agradezco.

te conviene reordenar un poco la expresion.

usa 3x - 3y = z

de ese modo te queda que 3x - 3y te da un entero

reflexiva

x = x
x - x = 0
3x - 3x = 0 y 0 e Z
xRx

simetrica

xRy =>
3x - 3y = z =>
-(3x - 3y) = -z =>
3y - 3x = t y t e Z =>
yRx

transitiva

xRy y yRz =>
3x - 3y = z y 3y - 3z = t => sumas miembro a miebro
3x - 3y + 3y - 3z = z + t =>
3x - 3z = z + t =>
xRz

---

clases

[a] = {x e Q / xRa}

xRa <=> 3x - 3a = z y z e Z

x = (z + 3a)/3

[a] = {(z + 3a)/3} = {a + z/3}

[0] = 0, 1/3, 2/3, 1, ...

[1] = 1, 4/3, ... = [0]

[1/3] = 1/3, 2/3, 1, ... = [0]

si armas el grafico de a + z/3 asignando valores enteros a 'z' vas a ver que es periodica de periodo 1/3 entonces

Q/R = { [a] / a e Q ^ a e [0,1/3) }

---

Gráfico de x + 1/3,x,x - 1/3,x + 2/3.

Tremendo trabajo, no esperaba tanto. Te agradezco mucho. Voy al ataque.

jaja de nada, lo habia hecho ayer igual