Hola, estaba teniendo una duda con un ejercicio. Dónde tengo una transformación
F(X,Y,Z) = (X + CZ, X+Y+2Z, X+CY) y me piden hallar C para los cuales (2,3,5) está entre la imagen de F .
Ahora mí duda es , sí este vector esta en la imagen , o sea es resultado de la TL o si este vector tiene una resultado que está en la imagen.

Hola

Por favor para las expresiones matemáticas utilizá LaTeX. En el foro hay un post que trata sobre eso.

(17-05-2018 14:21)rodillob9 escribió:  Ahora mí duda es , sí este vector esta en la imagen , o sea es resultado de la TL o si este vector tiene una resultado que está en la imagen.

La primera afirmación está bien \[(\text{El vector } (2,3,5)\in\text{Im}{(F)}),\] pero la segunda oración no. El esquema de la situación es la imagen adjuntada, donde se pide hallar un C ∈ |R tal que el vector (2, 3, 5) pertezca a la imagen de F.

   

Saludos.

y como deberia encararlo para resolverlo? lo planteo como un sistema de ecucaciones y dejo todo expresado en función de x?

Hola

(17-05-2018 19:22)rodillob9 escribió:  ¿Y como debería encararlo para resolverlo? ¿Lo planteo como un sistema de ecucaciones y dejo todo expresado en función de x?

No. Hay que encontrar un número real tal que la transformación lineal arroje el vector (2, 3, 5), sin importar cuáles sean los valores de x, y y z (claro que deben verificar la condición). Por ejemplo, si C = 0 no funciona puesto que \[F(x,y,z) = (x, x+y+2z,x)\] y es imposible encontrar valores que satisfagan la condición \[F(x,y,z)=(2,3,5).\] Si suponés que C = 1 verifica la condición vas a tener que mostrar que existe una T.L. que la verifica (o sea encontrar valores de x, y y z).

Saludos.

si, pero a lo que voy es como lo tengo que plantear, no puedo ir probando toda las combinaciones para eso. ese planteo es el que falla y no comprendo como encarar

Hola

(17-05-2018 22:22)rodillob9 escribió:  Sí, pero a lo que voy es cómo lo tengo que plantear, no puedo ir probando todas las combinaciones para eso. Ese planteo es el que falla y no comprendo cómo encarar.

Es que NO debés probar todas las combinaciones. Si bien el enunciado dice

(17-05-2018 14:21)rodillob9 escribió:  Tengo una transformación \[F(x,y,z)=(x+Cz,\;x+y+2z,\;x+Cy)\] y me piden hallar C para los cuales (2, 3, 5) está entre la imagen de F.

no es muy claro porque hay infinitos valores que cumplen esa condición; lo que te piden es UN valor C para el cual \[(x+Cz,x+y+2z,x+Cy)=(2,3,5).\] Sabés que C no puede ser 0 por lo dicho anteriormente. Cuando decidas por un valor vas a tener que mostrar que el sistema de ecuaciones formado por \[\begin{cases}x&&&+&Cz&=&2\\x&+&y&+&2z&=&3\\x&+&Cy&&&=&5,\end{cases}\] o lo que es lo mismo usando la matriz aumentada: \[\left(\begin{array}{ccc:c}1&0&C&2\\1&1&2&3\\1&C&0&5\end{array}\right)\sim\cdots\sim\left(\begin{array}{ccc:c}1&0&C&2\\0&1&2-C&1\\0&0&C^2-3C&3-C\end{array}\right)\] tiene solución y es única (es decir existen valores de x, y y z para los cuales la T.L. genera como imagen, entre infinitos, el vector (2, 3, 5).


Saludos.

Aplique gauss a esa matriz aumentada, y me terminó dando en la última fila (0, 0, -3C + C^2 | 3 -C) y haciendo las ecuaciones , creo que , correctas , me dió que C era igual a 3 y -1 .
las otras dos filas (1, 0 , C | 2) y (0, 1, 2-C | 1). pero estas ecuaciones no quedan satisfechas.
¿estoy haciendo algo mal? gracias por la ayuda

Hola

Insisto en que por favor no publiques expresiones matemáticas que no estén hechas mediante LaTeX. En este enlace podés ver cómo se usa.

(18-05-2018 00:13)rodillob9 escribió:  Apliqué Gauss a esa matriz aumentada, y me terminó dando en la última fila (0, 0, -3C + C^2 | 3 - C). Las otras dos filas (1, 0, C | 2) y (0, 1, 2 - C | 1). Pero estas ecuaciones no quedan satisfechas.

Bien, aunque quizás no viste el edit que hice del mensaje anterior donde lo escribí.

(18-05-2018 00:13)rodillob9 escribió:  Y haciendo las ecuaciones, creo que correctas, me dio que C era igual a 3 y -1.

¿Estoy haciendo algo mal?

Sí, para C = 3 la matriz aumentada es \[\left(\begin{array}{ccc:c}1&0&3&2\\0&1&-1&1\\0&0&0&0\end{array}\right)\] lo cual genera una indeterminación 0/0 en la última fila; imposible.

¿Pasará lo mismo para C = -1? Es claro que en la matriz aumentada no produce ningún error, pero te estás olvidando del último paso que es

(17-05-2018 17:07)manoooooh escribió:  Hallar un C ∈ |R tal que el vector (2, 3, 5) pertezca a la imagen de F.

Por tanto resta analizar si el sistema \[{\left.\begin{cases}x&&&+&Cz&=&2\\x&+&y&+&2z&=&3\\x&+&Cy&&&=&5\end{cases}\right|}_{\text{Con }C\;=\;-1}=\begin{cases}x&&&-&z&=&2\\x&+&y&+&2z&=&3\\x&-&y&&&=&5\end{cases}\] tiene solución y es única.

Saludos.

perfecto! muchisimas gracias!