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Desigualdad triangular
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kanusafj Sin conexión
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Mensaje: #1
Desigualdad triangular Ejercicios y 1 más Análisis Matemático I
Utilice la desigualdad del triángulo para demostrar la proposición indicada
a) |x-1|<1/3 y |y+1|<1/4, entonces |x+y|<7/12
b) |x-1|<1/3 y |y-1|<1/4, entonces |x-y|<7/12


Abajo dejo el Teorema de la desigualdad del triángulo (o triangular) por si no saben cuál es:

Dados a,bR, entonces
|a+b|≤|a|+|b|

Dos corolarios de este teorema son los siguentes:

Dados a,bR, entonces
(1) |a-b|≤|a|+|b|
(2) |a|-|b|≤|a-b|
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 17-05-2012 15:58 por kanusafj.)
17-05-2012 15:50
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matyary Sin conexión
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Mensaje: #2
RE: Desigualdad triangular
Mmm eso de dónde lo sacaste? Jamás lo vi.
Lo resuelvo como lo haría yo...


Iniciso a.:

\[-\frac{1}{3}<x-1<\frac{1}{3} \to \frac{2}{3}<x<\frac{4}{3} ^{(1)}\]

\[-\frac{1}{4}<y+1<\frac{1}{4} \to -\frac{5}{4}<y<-\frac{3}{4} ^{(2)}\]

De \[ ^{(1)} \wedge ^{(2)}\] obtengo:

\[|x+y|<|\frac{4}{3}|+|-\frac{3}{4}| \to |x+y|<\frac{4}{3}+\frac{3}{4} \to |x+y|<\frac{25}{12}\]


Iniciso b.:

\[|x-y|<|\frac{4}{3}|-|-\frac{3}{4}| \to |x-y|<\frac{4}{3}-\frac{3}{4} \to |x-y|<\frac{7}{12}\]


No es así?

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Mensaje: #3
RE: Desigualdad triangular
a) tenes una hipotesis H y una tesis T

\[H) |x+1|<\frac{1}{3}\wedge |y+1|<\frac{1}{4}\Rightarrow T) |x+y|<\frac{7}{12}\]

trabajamos nuestra hipotesis para ver si se cumple la tesis, por por propiedad de desigualdad triangular

\[|x|+|1|<\frac{1}{3}\wedge |y|+|1|<\frac{1}{4}\]

haciendo las cuentas, salvo error

\[|x|<-\frac{2}{3}\wedge |y|<-\frac{3}{4}\]

nos vamos a la tesis y aplicamos la propiedad triangular otra vez

\[|x+y|<|x|+|y|< \quad\mbox{ por hipotesis}\quad <-\frac{2}{3}+\left ( -\frac{3}{4} \right )=-\frac{17}{12}<\frac{7}{12}\]

Analogo para b)

Maty no estas aplicando la propiedad triangular que te pide el enunciado, solo estas resolviendo las inecuaciones

17-05-2012 16:14
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brunodiaz (17-05-2012)
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Mensaje: #4
RE: Desigualdad triangular
Ajam, con que era eso nomás... ya lo entendí... y eso en qué materia se ve? (creo que me perdí de algo Jaja).


Off-topic:
Después pasate por ese topic e álgebra que escribí algo, comparando tu rtado. final y el mio me di cuenta que en \[z\] el tuyo es 2 veces más grande que el mio, no sé porque... y si es válido o no. Sinceramente, a pesar de haber hecho mucho desarrollo al pedo creo que lo planteé bien.
Ahora me voy a seguir con mis cosas Jajaja

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17-05-2012 16:27
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kanusafj Sin conexión
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Mensaje: #5
RE: Desigualdad triangular
(17-05-2012 16:14)Saga escribió:  a) tenes una hipotesis H y una tesis T

\[H) |x+1|<\frac{1}{3}\wedge |y+1|<\frac{1}{4}\Rightarrow T) |x+y|<\frac{7}{12}\]

trabajamos nuestra hipotesis para ver si se cumple la tesis, por por propiedad de desigualdad triangular

\[|x|+|1|<\frac{1}{3}\wedge |y|+|1|<\frac{1}{4}\]

haciendo las cuentas, salvo error

\[|x|<-\frac{2}{3}\wedge |y|<-\frac{3}{4}\]

nos vamos a la tesis y aplicamos la propiedad triangular otra vez

\[|x+y|<|x|+|y|< \quad\mbox{ por hipotesis}\quad <-\frac{2}{3}+\left ( -\frac{3}{4} \right )=-\frac{17}{12}<\frac{7}{12}\]

Analogo para b)

Maty no estas aplicando la propiedad triangular que te pide el enunciado, solo estas resolviendo las inecuaciones

Hola. Antes todo, gracias por contestar.

En el (a) la H no es |x+1|<1/3 (como pusiste vos), sino |x-1|<1/3 (con menos)

Sigue siendo un misterio para mí cómo pasás de |x+1|<1/3 a |x|+|1|<1/3 porque sabemos por el Teorema de la desigualdad triangular, que |x+1|≤|x|+|1|, pero no sabemos si efectivamente |x|+|1|≤1/3. Además el Teorema implica usar , no <.
Por otro lado, dado que es imposible que un módulo sea negativo, entonces esto no puede ser verdad:
\[|x|<-\frac{2}{3}\wedge |y|<-\frac{3}{4}\]

Bueno, por ahora sigo sin entender cómo resolver esto aplicando el teorema de la desigualdad triangular (sí sé cómo hacerlo de otra forma, como la que dice @matyary).

Saludos y espero que me puedan ayudar.

PD: El ejercicio es uno que está en el libro de Leithold.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 17-05-2012 17:36 por kanusafj.)
17-05-2012 17:33
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Mensaje: #6
RE: Desigualdad triangular
(17-05-2012 17:33)kanusafj escribió:  Sigue siendo un misterio para mí cómo pasás de |x+1|<1/3 a |x|+|1|<1/3 porque sabemos por el Teorema de la desigualdad triangular, que |x+1|≤|x|+|1|, pero no sabemos si efectivamente |x|+|1|≤1/3.

\[\leq\] menor ó IGUAL.
Listo, de ahí sale todo el planteo de Saga... usó el teorema de la Desigualdad Triangular.

Por otro lado... si el módulo de la suma de dos variables \[a \wedge b\] es menor o igual a un número \[x\], la suma de los módulos de dichas variables también lo es (de acuerdo al teorema enunciado).

Creo que me entendí yo sólo Jajaja, la intención estuvo.

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Mensaje: #7
RE: Desigualdad triangular
Tenes toda la razón kanusafj un lapsus mental que me indicaba que el modulo de un numero es menor que 0...wall

\[|x-1|<\dfrac{1}{3} \wedge |y+1|<\dfrac{1}{4}\Longrightarrow{|x+y|<\dfrac{7}{12}}\]

\[|x-1|<\dfrac{1}{3} \wedge |y-1|<\dfrac{1}{4} \Longrightarrow{|x-y|<\dfrac{7}{12}}\]

\[|x+y|=|(x-1)+(y+1)|{\color{Red} \leq } |x-1|+|y+1|\leq \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\leq \dfrac{7}{12}\]

ahi que quedo Feer

18-05-2012 22:55
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kanusafj (20-05-2012)
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