Utilice la desigualdad del triángulo para demostrar la proposición indicada
a) |x-1|<1/3 y |y+1|<1/4, entonces |x+y|<7/12
b) |x-1|<1/3 y |y-1|<1/4, entonces |x-y|<7/12


Abajo dejo el Teorema de la desigualdad del triángulo (o triangular) por si no saben cuál es:

Dados a,b ∈ R, entonces
|a+b|≤|a|+|b|

Dos corolarios de este teorema son los siguentes:

Dados a,b ∈ R, entonces
(1) |a-b|≤|a|+|b|
(2) |a|-|b|≤|a-b|

Mmm eso de dónde lo sacaste? Jamás lo vi.
Lo resuelvo como lo haría yo...


Iniciso a.:

\[-\frac{1}{3}<x-1<\frac{1}{3} \to \frac{2}{3}<x<\frac{4}{3} ^{(1)}\]

\[-\frac{1}{4}<y+1<\frac{1}{4} \to -\frac{5}{4}<y<-\frac{3}{4} ^{(2)}\]

De \[ ^{(1)} \wedge ^{(2)}\] obtengo:

\[|x+y|<|\frac{4}{3}|+|-\frac{3}{4}| \to |x+y|<\frac{4}{3}+\frac{3}{4} \to |x+y|<\frac{25}{12}\]


Iniciso b.:

\[|x-y|<|\frac{4}{3}|-|-\frac{3}{4}| \to |x-y|<\frac{4}{3}-\frac{3}{4} \to |x-y|<\frac{7}{12}\]


No es así?

a) tenes una hipotesis H y una tesis T

\[H) |x+1|<\frac{1}{3}\wedge |y+1|<\frac{1}{4}\Rightarrow T) |x+y|<\frac{7}{12}\]

trabajamos nuestra hipotesis para ver si se cumple la tesis, por por propiedad de desigualdad triangular

\[|x|+|1|<\frac{1}{3}\wedge |y|+|1|<\frac{1}{4}\]

haciendo las cuentas, salvo error

\[|x|<-\frac{2}{3}\wedge |y|<-\frac{3}{4}\]

nos vamos a la tesis y aplicamos la propiedad triangular otra vez

\[|x+y|<|x|+|y|< \quad\mbox{ por hipotesis}\quad <-\frac{2}{3}+\left ( -\frac{3}{4} \right )=-\frac{17}{12}<\frac{7}{12}\]

---

Analogo para b)

Maty no estas aplicando la propiedad triangular que te pide el enunciado, solo estas resolviendo las inecuaciones

Ajam, con que era eso nomás... ya lo entendí... y eso en qué materia se ve? (creo que me perdí de algo Jaja).

Off-topic:

Después pasate por ese topic e álgebra que escribí algo, comparando tu rtado. final y el mio me di cuenta que en \[z\] el tuyo es 2 veces más grande que el mio, no sé porque... y si es válido o no. Sinceramente, a pesar de haber hecho mucho desarrollo al pedo creo que lo planteé bien.
Ahora me voy a seguir con mis cosas Jajaja

(17-05-2012 16:14)Saga escribió:  a) tenes una hipotesis H y una tesis T

\[H) |x+1|<\frac{1}{3}\wedge |y+1|<\frac{1}{4}\Rightarrow T) |x+y|<\frac{7}{12}\]

trabajamos nuestra hipotesis para ver si se cumple la tesis, por por propiedad de desigualdad triangular

\[|x|+|1|<\frac{1}{3}\wedge |y|+|1|<\frac{1}{4}\]

haciendo las cuentas, salvo error

\[|x|<-\frac{2}{3}\wedge |y|<-\frac{3}{4}\]

nos vamos a la tesis y aplicamos la propiedad triangular otra vez

\[|x+y|<|x|+|y|< \quad\mbox{ por hipotesis}\quad <-\frac{2}{3}+\left ( -\frac{3}{4} \right )=-\frac{17}{12}<\frac{7}{12}\]

---

Analogo para b)

Maty no estas aplicando la propiedad triangular que te pide el enunciado, solo estas resolviendo las inecuaciones

Hola. Antes todo, gracias por contestar.

En el (a) la H no es |x+1|<1/3 (como pusiste vos), sino |x-1|<1/3 (con menos)

Sigue siendo un misterio para mí cómo pasás de |x+1|<1/3 a |x|+|1|<1/3 porque sabemos por el Teorema de la desigualdad triangular, que |x+1|≤|x|+|1|, pero no sabemos si efectivamente |x|+|1|≤1/3. Además el Teorema implica usar ≤, no <.
Por otro lado, dado que es imposible que un módulo sea negativo, entonces esto no puede ser verdad:
\[|x|<-\frac{2}{3}\wedge |y|<-\frac{3}{4}\]

Bueno, por ahora sigo sin entender cómo resolver esto aplicando el teorema de la desigualdad triangular (sí sé cómo hacerlo de otra forma, como la que dice @matyary).

Saludos y espero que me puedan ayudar.

PD: El ejercicio es uno que está en el libro de Leithold.

(17-05-2012 17:33)kanusafj escribió:  Sigue siendo un misterio para mí cómo pasás de |x+1|<1/3 a |x|+|1|<1/3 porque sabemos por el Teorema de la desigualdad triangular, que |x+1|≤|x|+|1|, pero no sabemos si efectivamente |x|+|1|≤1/3.

\[\leq\] menor ó IGUAL.
Listo, de ahí sale todo el planteo de Saga... usó el teorema de la Desigualdad Triangular.

Por otro lado... si el módulo de la suma de dos variables \[a \wedge b\] es menor o igual a un número \[x\], la suma de los módulos de dichas variables también lo es (de acuerdo al teorema enunciado).

Creo que me entendí yo sólo Jajaja, la intención estuvo.

Tenes toda la razón kanusafj un lapsus mental que me indicaba que el modulo de un numero es menor que 0...

\[|x-1|<\dfrac{1}{3} \wedge |y+1|<\dfrac{1}{4}\Longrightarrow{|x+y|<\dfrac{7}{12}}\]

\[|x-1|<\dfrac{1}{3} \wedge |y-1|<\dfrac{1}{4} \Longrightarrow{|x-y|<\dfrac{7}{12}}\]

\[|x+y|=|(x-1)+(y+1)|{\color{Red} \leq } |x-1|+|y+1|\leq \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\leq \dfrac{7}{12}\]

ahi que quedo