Hola, necesito ayuda con este tipo de ejercicios (La matriz ¿Es diagonalizable para cualquier K?; hallar K para que sea (o no sea) diagonalizable).

1) Sea la matriz \[\begin{bmatrix} a & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\] ¿Es diagonalizable para cualquier a? Justifique

2) Sea la la matriz \[\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & h & 0 \\ -1 & 1 & 1\end{bmatrix}\] Halle todos los valores de H tales que la matriz no sea diagonalizable

Gracias de manera anticipada

Leete esto: http://rodas.us.es/file/665f06c8-05e6-61...age_04.htm

1) es falso observa que si a=1 entonces tenes que

\[\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1\]

raiz triple , entonces la \[dim_{E_1}=3\] luego se tiene que cumplir que

\[dim_{E_1}=n-rg(A-1I)\]

n=numero de incognitas =3

luego

\[(A-1I)=\begin{pmatrix}0 & 3 & 1\\ 0& 0 &0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]

claramente el rango de A-1I =1 de donde

\[3\neq 3-1=2\]

la multiplicidad geometrica no coincide con la algebraica

2) si h es distinto de 2 o 1 la matriz es diagonalizable seguro ahora que pasa si h=2 tenes una raiz doble \[\lambda_2=\lambda_3=2\], por definicion sabes que

\[dimE_{\lambda=2}=n-rg(A-2I)\]

para que no sea diagonalizable

\[dimE_{\lambda=1}=3-rg(A-1I)<2\to rg(A-1I)>1\]

de donde

\[(A-2I)=\begin{pmatrix}0 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0 \\ -1 &1 &-1 \end{pmatrix}\]

claramente el rango de (A-2I)=1 para que no sea diagonalizable el rango deberia ser mayor que 1.

El razonamiento es analogo cuando h=1 entonces \[\lambda_1=\lambda_2=1\]

intentalo