Hola gente, hace como una hora que me estoy quemando la cabeza con un ejercicio de analisis II (guía CEIT, tp5, ejercicio 4).
\[f(x,y)= \frac{x^2y}{x^2+y^2}; (x,y)\neq 0\] ; \[f(0,0)=0\]

Esta función es continua en el origen?

Segun el profe es continua, segun el resultado de la guía de TP y según Wolfram Alpha no. (Ni el profesor ni nadie de la cursada se dio cuenta de esto; yo lo noté recién y bueno, necesito saberlo porque la semana que viene tengo parcial)

El profesor, para asegurar que es continua, decía que el límite es infinitésimo por acotada (cosa que me parece lógico).

De ser continua, esta función es diferenciable?

Mil gracias!

Es continua como te dice el profe . Cuando estan esos productos arriba normalmente es asi.

Puede o no ser diferenciable , si no fuera continua olvidate.

Para que sea diferenciable por lo menos el numerador tiene que tener minimo dos grados mas que el denominador.

En este caso el numerador es de grado 3 y el denominador 2. Entonces no es diferenciable.

Lo podes comprobar con la formula choclo que Diferenciabilidad.

Cita:según Wolfram Alpha no

wolfram no resuelve limites dobles

te puede decir que no existe cuando toma curvas el wolfram, no recuerdo como lo hacia igual

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el limite se calcula asi

\[(a-b)^2 \geq 0\] , por ser "algo" al cuadrado
\[a^2-2ab+b^2 \geq 0\]
\[a^2+b^2 \geq 2ab\]
\[1 \geq \frac{2ab}{a^2+b^2}\]
\[\frac{1}{2} \geq \frac{ab}{a^2+b^2}\]

si a=x y b=y te queda
\[\frac{1}{2} \geq \frac{x*y}{x^2+y^2}\]
multiplicando por x
\[\frac{1}{2}x \geq \frac{x*x*y}{x^2+y^2}\]
como 1/2*x=0 , la funcion esta acotada a 0. es continua.

para saber si es diferenciable buscas las derivadas direccionales por definicion.
\[f'x= lim_{x->0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}\]
si aplicas esa formula vas a llegar a

\[f'x= lim_{x->0} \frac{\frac{x*x*0}{x^2+0^2}-0}{x}\]
\[f'x= lim_{x->0} \frac{\frac{0}{x^2}-0}{x}=\frac{0}{x}=0\]

analogamente en y, la derivada es 0.

por definicion de diferenciabilidad (hay muchas formas de aplicarla, yo uso esta, no es la misma que subio la tota, pero son todas iguales y todas funcionan igual)


\[lim_{(x,y)->(P_{0})}\frac{f(x,y)-[f(P_{0}+\bigtriangledown f(P_{0})*(x,y)]}{||x,y||}=0\]
\[lim_{(x,y)->(0,0)}\frac{ \frac{x*x*y}{x^2+y^2}}{||x,y||}\]
\[lim_{(x,y)->(0,0)}\frac{ \frac{x*x*y}{x^2+y^2}-(x,y)*(0,0)}{||x,y||}\]
\[lim_{(x,y)->(0,0)}{ \frac{x*x*y}{(x^2+y^2)*{||x,y||}}}\]
por el limite que resolvimos antes
\[|\left lim_{(x,y)->(0,0)}{ \frac{x*x*y}{(x^2+y^2)*{||x,y||}}} |\leq \frac{1}{2}*\frac{x}{||x,y||}\]
se sabe por propiedad que
\[|\frac{x}{||x,y||}|\leq 1\]
volviendo

\[|\left lim_{(x,y)->(0,0)}{ \frac{x*x*y}{(x^2+y^2)*{||x,y||}}} |\leq \frac{1}{2}*\frac{x}{||x,y||}\leq \frac{1}{2}*1= 0\]

La funcion es continua, no es diferenciable.
\[|\left lim_{(x,y)->(0,0)}{ \frac{x*x*y}{(x^2+y^2)*{||x,y||}}} |\leq \frac{1}{2}*\frac{x}{||x,y||}\leq \frac{1}{2}*1= 0\]

creo que no se me paso nada.

probando que esa funcion es o no C1 podes sacar muchas conclusiones.... recorda que si una funcion es C1 es equivalente a decir es "dios" en esta parte de la materia