Buenas a todos.
Me estoy preparando para el final de Álgebra, que lo debo hace rato y estoy un poco oxidado. La vengo piloteando bien, pero me encontré con un ejercicio que no tengo idea de cómo encararlo.
Me pide lo siguiente:

- Considere una transformación lineal de R3-->R2.
A) Obtenga al menos una T en la que los elementos de Nu(T) verifiquen la ecuación 2x+3y-6z=0 y los elementos de Im(T) verifiquen x+2y=0.

Bien. Entiendo que el núcleo son los elementos del dominio que, mediante la ley de la transformación, van a parar al cero del codomino. Y que la imágen de la transformación son los elementos del codominio, que se obtienen de transformar los del dominio.
Lo que no entiendo es cómo encararlo. Intenté ver por el lado de obtener las bases del núcleo y de la imágen y luego ver cómo con esos datos obtener una TL. Pero no llegué a buen puerto.

Alguien sería tan amable de tirarme una punta? Se los agradecería mucho

Una posible TL esta definida por

\[\\T(3,0,1)=(0,0)\\\\T\left (\frac{3}{2},1,0 \right )=\(0,0)\\\\ T(1,0,0)=(-2,1)\]

Ahora solo hay que tomar un vector generico \[v=(x,y,z)\]

y plantear la combinacion lineal

\[(x,y,z)=\alpha (3,0,1)+\beta\left (\frac{3}{2},1,0 \right )+\gamma(1,0,0)\]

despues de encontrados los escalares alfa beta gamma solo aplica T, tenes los transformados, es solo tema de cuentas

Para que la t. l. te quede definida, necesitás encontrar una base del dominio y los transformados de esa base. Empezás buscando el núcleo y la imagen. Despejando alguna variable, llegás a que \[ \mbox{Nu}(f)=\mbox{gen} \lbrace{ (-3,2,0);(3,0,1) \rbrace}\]. De acá sacás que \[ f(-3,2,0)=(0,0) \] y \[ f(3,0,1)=(0,0) \]. Falta usar la otra condición. Un vector que cumple la condición de la imagen es, por ejemplo, \[ (-2,1) \]. Con esto ya está todo, definís:

\[ f(-3,2,0)=(0,0) \wedge f(3,0,1)=(0,0) \wedge f(\textbf{v})=(-2,1) \]

siendo \[ \textbf{v} \] cualquier vector de \[ \mathbb{R}^3 \] que sea linealmente independiente con el resto. Esto es importante porque tenés que formar una base del dominio.
Fijate que todos los vectores de la forma \[ 2x+3y-6z=0 \] van a parar al nulo de \[ \mathbb{R}^2 \] y que la imagen de la t. l. está definida por \[ \mbox{gen} \lbrace (0,0);(-2,1) \rbrace=\mbox{gen} \lbrace (-2,1) \rbrace \], entonces todos van a ser múltiplos de ese vector y van a cumplir la ecuación \[ x+2y=0 \].

Si el enunciado está completo, no te piden la expresión analítica, así que con esto ya terminó. Si te la piden, se ve la forma de llegar a la misma.

Qué grandes que son!
Lo encaré de la misma forma que Saga, obtuve las mismas bases del núcleo. Pero me faltaba "darme cuenta" que v es cualquier vector de R3 LI con los otros dos. Me marié armando un genérico y pues de ahí me faltaban datos y no llegaba a absolutamente nada.

Les agradezco mucho!!