Sea una f: \[\mathbb{R} \mapsto\mathbb{R}\], continua en \[\mathbb{R}\] / \[\left | f(x)+3 \right |\leq (x-4)^{2}.e^{x}\] para todo \[ x\in \mathbb{R}\]


a.) Es f(x) una función acotada en R ??????

b.) Calcule,si existe, \[\lim_{x \mapsto 4 }(f(x)+3)^{3}.\arctan \frac{1}{x-4}\]. Justifique claramente las respuestas.


el "b" lo pude hacer

\[(-(x-4)^{2}.e^{x})^{3}\leq \left [ f(x)+3) \right ]^{3}\leqslant ((x-4)^{2}.e^{x})^{3}\]

Por teorema de Intercalación


\[\lim_{x\rightarrow4 }(-(x-4)^{2}.e^{x})^{3}=0\] \[\wedge \] \[\lim_{x\rightarrow 4}((x-4)^{2}.e^{x})^{3}=0\]

Entonces \[\lim_{x\rightarrow 4} \left [ f(x)+3 \right ]^{3}=0\]


\[\lim_{x\rightarrow 4} \left [ f(x)+3 \right ]^{3}.\arctan (\frac{1}{x-4})=0\]

Porque el producto de un infinitesimo por una funcion acotada como el arctg da otro infinitesimo.

Pero no me sale la parte "a" me podrían ayudar a resolverlo!!
Gracias de antemano!

Hola que tal. Una función es acotada cuando su imagen está acotada, entonces bastaría con demostrar que no está acotada inferior o superiormente. Si hacemos el límite de (x-4)^2 * e^x tendiendo a infinito por derecha el resultado es infinito, le restamos 3 para obtener el valor máximo que puede alcanzar la función, y obviamente sigue dando infinito. Con esto comprobamos que la función no alcanza un máximo absoluto en su dominio, y por lo tanto no está acotada superiormente => la función no está acotada.
Yo lo había resuelto así un ejercicio muy parecido, si me equivoco que alguien me corrija
Saludos.