Hola, estaba practicando haciendo ejercicios de limites. Les pongo los dos con los que me entraron dudas:

\[18) a) Calcular \lim_{x \to 2} f(x), si \forall x\in E'\left ( 2, \delta \right ) con \delta > 0 : \left | f(x) -7 \right |\leq 5(x-2)^{2}\]

\[18) b) Calcular \lim_{x \to \pi } [f(x). sen x], si \forall x\in \mathbb{R}: f^{2}\left ( x \right )\leq 9\]

Los dos los resolvi bien creo. El primero me dio siete, y el segundo cero,

Pero el primero por ejemplo, ignore completamente la parte que me dice que delta es mayor a cero, y lo del entorno reducido, solo aplique el teorema de intercalacion abriendo el modulo, esta bien o me falto algo?

Y el segundo lo deduci diciendo que \[sen \pi = 0\] lo cual anula a f(x), y por lo cual no hace falta buscar f(x), ya que sen x anula la funcion, y asi me da el limite, otra vez, esta bien fundamentado o me falto algo?

Desde ya muchas gracias !

Estan bien, en el segundo es porque esta acotado f(x) te falto aclarar. Las ideas están bien.

Hola Nico. En el segundo, el seno tiende a cero, no vale cero. Sin embargo, te funciona porque te dicen que f(x) está acotada. Si no fuera el caso, y f(x) tendiera a infinito, habría que hacer otra cosa. Por ejemplo: L'Hopital (o como se escriba).

En el primero, si delta es el radio del entorno, obviamente que será mayor a cero. Es para darle coherencia y completitud a la expresión. Del resto, no recuerdo lo suficiente como para responderte.