Hola gente como va?el otro dia me tomaron estos ejercicios en el segundo parcial de algebra, lamentablemente lo desaprobé, queria saber si alguno sabe como encarar estos ejercicios:

1)Sea A \[\bigl(\begin{smallmatrix}3& 1 & 0\\ 1& 3 &0 \\ 2&k &2 \end{smallmatrix}\bigr)\] hallar k para que A sea diagonalizable. (intenté sacar los autovalores y autovectores pero resulta que k se me anula)

2)Hallar c y k tal que \[X^{2}+Y^{2}-(Z^{2})/C^{2}=k\] (C>0) la interseccion con x=0 sea un par de rectas, una pasa por (0,1,3) (aca se que se anula el termino con x pero hasta ahi me quedé)

Gracias a todos!

1) Si no me equivoco, al anularsete K te das cuenta que que sea diagonalizable o no A era independiente del valor de K, por lo tanto, si la podías diagonalizar valía para cualquier K.
2) En esta lo que se me ocurre hacer es:
Primero, como dijiste anular el termino X, te queda Y^2 - (Z^2)/C^2 = K
Para tener 2 rectas que se intersectan en R^2 necesitas llegar a algo que tenga esta forma o alguna equivalente: Y^2 = Z^2 , por lo tanto la K debe valer 0 (Si K fuese diferente de 0 sería una hipérbola)
Ahora, tendrías esto: Y^2 - Z(^2)/C^2 = 0 , que si despejas te queda: |Y| = |Z/C|. Acá nomás tenés que reemplazar la Y y la Z por el punto (0,1,3) para ver para que valor de C el punto se haya comprendido en la recta. Entonces, 1 = 3/|C|, como C es mayor que 0 el módulo es innecesario en realidad, 1 = 3/C. Y ahí sacas que C = 3 ^ K = 0.

Espero que te haya servido

(09-12-2013 20:37)J9794 escribió:  1) Si no me equivoco, al anularsete K te das cuenta que que sea diagonalizable o no A era independiente del valor de K, por lo tanto, si la podías diagonalizar valía para cualquier K.
2) En esta lo que se me ocurre hacer es:
Primero, como dijiste anular el termino X, te queda Y^2 - (Z^2)/C^2 = K
Para tener 2 rectas que se intersectan en R^2 necesitas llegar a algo que tenga esta forma o alguna equivalente: Y^2 = Z^2 , por lo tanto la K debe valer 0 (Si K fuese diferente de 0 sería una hipérbola)
Ahora, tendrías esto: Y^2 - Z(^2)/C^2 = 0 , que si despejas te queda: |Y| = |Z/C|. Acá nomás tenés que reemplazar la Y y la Z por el punto (0,1,3) para ver para que valor de C el punto se haya comprendido en la recta. Entonces, 1 = 3/|C|, como C es mayor que 0 el módulo es innecesario en realidad, 1 = 3/C. Y ahí sacas que C = 3 ^ K = 0.

Espero que te haya servido

Muchas gracias! me re sirvió, en el primer ejercicio yo llegué a la misma conclusión que era diagonalizable para todo k pero supuestamente estaba mal :/