Hola gente como va?en un parcial me tomaron este ejercicio:
Parametrizar la curva \[X^{2}+4(Y-1)^{2}=4\] con Y\[\leq 1\] en sentido antihorario...
ordenando un poco me queda una elipse del estilo \[X^{2}/4 +(Y-1)^{2}=1\]
y la parametrizacion en sentido antihorario:
X=2cost
Y=1+sent hasta ahi todo bien supongo...
ahora mi duda, como saco el "rango" o las condiciones de "t" en funcion de pi???
Gracias!

lo mejor que podes hacer ahi es agarrar un borrador tirar algunos valores y graficarlo XD

si no me equivoco
por como parametrizaste tenes que que t va desde pi hasta 2 pi.

tene en cuenta que no siempre va a ser asi porque siempre va a depender de la parametrizacion

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http://www.wolframalpha.com/input/?i=par...+pi+to+2pi

Vos tenés que
X=2cost
Y=1+sent

Y te pide que \[Y\leq 1\]

lo que tenés que hacer es reemplazar eso en Y = 1+ sent

\[1 + sen(t) \leq 1\]
\[sen t \leq 0\]

Y ahora si te fijás, donde el sen es menor que 0, puede ser de \[[-\pi;0]\]
Y ahora con esa T, te vas fijando si va en sentido antihorario, que en realidad lo hace:
El punto de inicio va a ser con \[t= -\pi \], que reemplazando te queda:
\[x= 2cos(-\pi) \rightarrow x=-2\]
\[y= 1+sen(-\pi) \rightarrow y=1\]

(Coincide con la condición que te dieron, y el punto de inicio es (-2,1)
Después te fijás con un punto intermedio: \[t= \frac{\pi}{2} \]
Reemplazando igual, te quedan
x=0
y=0
Sería un punto intermedio.

Y luego, probás con el 0: Reemplazando te va a quedar:
x= 2cos0, o sea x=2
y=1+sen0, o sea y=1

Y ahí te queda, la parametrización si podés ver en el gráfico va a ser la mitad de la elipse (el arco inferior que va de x=-2 a x=2), que coincide con el medio giro que tenés de \[[-\pi;0]\], recordando que un giro completo es el que dura \[2\pi\]

(13-12-2013 00:00)Bian escribió:  Vos tenés que
X=2cost
Y=1+sent

Y te pide que \[Y\leq 1\]

lo que tenés que hacer es reemplazar eso en Y = 1+ sent

\[1 + sen(t) \leq 1\]
\[sen t \leq 0\]

Y ahora si te fijás, donde el sen es menor que 0, puede ser de \[[-\pi;0]\]
Y ahora con esa T, te vas fijando si va en sentido antihorario, que en realidad lo hace:
El punto de inicio va a ser con \[t= -\pi \], que reemplazando te queda:
\[x= 2cos(-\pi) \rightarrow x=-2\]
\[y= 1+sen(-\pi) \rightarrow y=1\]

(Coincide con la condición que te dieron, y el punto de inicio es (-2,1)
Después te fijás con un punto intermedio: \[t= \frac{\pi}{2} \]
Reemplazando igual, te quedan
x=0
y=0
Sería un punto intermedio.

Y luego, probás con el 0: Reemplazando te va a quedar:
x= 2cos0, o sea x=2
y=1+sen0, o sea y=1

Y ahí te queda, la parametrización si podés ver en el gráfico va a ser la mitad de la elipse (el arco inferior que va de x=-2 a x=2), que coincide con el medio giro que tenés de \[[-\pi;0]\], recordando que un giro completo es el que dura \[2\pi\]

Muchas gracias!lo que si como ubicarias -\[\pi \] en el grafico de radianes?se me complica con eso, es decir que quedaria \[0\geq t\geq -\pi \]?

(13-12-2013 13:00)ezequiel93 escribió:  Muchas gracias!lo que si como ubicarias -\[\pi \] en el grafico de radianes?se me complica con eso, es decir que quedaria \[0\geq t\geq -\pi \]?

No entendí lo de ubicar en el gráfico de radianes (?) mirá vos para saber qué recorre es simple, si \[ t\epsilon [-\pi;0] \] vas reemplazando en t, en las paramétricas, con el extremo izquierdo como Punto de Inicio (-pi), el extremo derecho (0) como punto final, y tomás uno intermedio para saber para dónde va el giro. Entonces ahí te das cuenta que sólo es medio giro y es el arco inferior. También está bien como dijo Maik , se cumple para \[ [\pi;2\pi] \] (en realidad es lo mismo en este caso). Si no era eso, no entendí lo que querías preguntar

(13-12-2013 15:03)Bian escribió:  

(13-12-2013 13:00)ezequiel93 escribió:  Muchas gracias!lo que si como ubicarias -\[\pi \] en el grafico de radianes?se me complica con eso, es decir que quedaria \[0\geq t\geq -\pi \]?

No entendí lo de ubicar en el gráfico de radianes (?) mirá vos para saber qué recorre es simple, si \[ t\epsilon [-\pi;0] \] vas reemplazando en t, en las paramétricas, con el extremo izquierdo como Punto de Inicio (-pi), el extremo derecho (0) como punto final, y tomás uno intermedio para saber para dónde va el giro. Entonces ahí te das cuenta que sólo es medio giro y es el arco inferior. También está bien como dijo Maik , se cumple para \[ [\pi;2\pi] \] (en realidad es lo mismo en este caso). Si no era eso, no entendí lo que querías preguntar

Claro yo lo estaba pensando como entre pi y 2pi por eso me habia mareado, ahora entendi, gracias de vuelta!

De nada, cualquier cosa decime!