Hola foreutas (?) Haciendo un par de parciales de AM2 me surgieron unas dudas:

1) Sean \[\Sigma _{1}: 6-x=\sqrt{{y^2} + {z^2}}\] y \[X(u,v)=(v^2,v.cosu,v.senu)\] con \[v \epsilon \mathbb{R}^{+}_{0}\] y \[u \epsilon [0,2\Pi ]\], y sea C la curva intersección de ambas superficies:

a) Definir una función vectorial, cuyo conjunto imagen sea C.
b) Obtener una ecuación para el plano normal a C en Po(4,0,2).

Yo fui haciendo esto: Desparametrizar \[\Sigma _{2}\] , que me da \[y^2+z^2=x\]. Luego si reemplazo eso en la primera superficie, me queda \[6-x = \sqrt{x}\] que despejando, \[x=4\].
Entonces esto lo reemplazo en la primera superficie desparametrizada:
\[C: y^2 + z^2 = 4\] - con esto tengo algunas dudas de si está bien porque haciéndolo de otra forma no me queda.

Ahora el problema es definir la función. Si es una función vectorial debería ser de la forma: \[f(t)=(x(t),y(t),z(t))\]. Yo acá haría que mi x(t)=4, pero para lo demás no se me ocurre nada.

En cuanto al punto b) Yo ya definí que x vale 4, por lo que la curva depende solo de y y de z... ¿Entonces \[f'_{x} = 0\]? ¿O directamente puedo hacerlo calculando el producto vectorial con la normal de ambos?


Duda de un punto teórico:
Sean \[F:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} / Po \epsilon \mathbb{R}^n\] y los versores \[\breve{u}, \breve{v} \] y \[\breve{w} \] tales que \[\breve{w} =\alpha \breve{u}+\beta \breve{v}\]. Si \[F'(Po,\breve{u})=a\] y \[F'(Po,\breve{v})=b\], calcular \[F'(Po,\breve{w})\] en función de los datos.

Yo primero planteé lo siguiente:
\[\lim_{\alpha\rightarrow 0} \frac{F(Po+\alpha\breve{u})-F(Po)}{\alpha} = a\]
\[\lim_{\beta\rightarrow 0} \frac{F(Po+\beta\breve{v})-F(Po)}{\beta} = b\]
Entonces
\[\lim_{h\rightarrow 0} \frac{F(Po+h(\alpha \breve{u}+\beta \breve{v}))-F(Po)}{h} = F'(Po,\breve{w})\]

De ahora en más no sé como seguir, si me dijera que F es diferenciable con el gradiente creo que sale, pero así no tengo idea... espero que alguien pueda ayudar! Saludos

Armas:

\[g(t) = (4, 2cos(t), 2sen(t))\] con t entre cero y dos pi.

Derivas:

\[g´(t) = (0, -2sen(t), 2cos(t))\]

Ahora como P pertenece a tu g(t), igualas:

\[4 = 4\]
\[0 = 2cos(to)\]
\[2 = 2sen(to)\]

Hallas tu to, lo reemplazas en g´(t). Con eso armas g´(to), el cual represente a tu vector tangente a C en P. Lo normalizas, y con eso formas la ecuación del plano normal.

(28-07-2014 16:35)Santi Aguito escribió:  Armas:

\[g(t) = (4, 2cos(t), 2sen(t))\] con t entre cero y dos pi.

Derivas:

\[g´(t) = (0, -2sen(t), 2cos(t))\]

Ahora como P pertenece a tu g(t), igualas:

\[4 = 4\]
\[0 = 2cos(to)\]
\[2 = 2sen(to)\]

Hallas tu to, lo reemplazas en g´(t). Con eso armas g´(to), el cual represente a tu vector tangente a C en P. Lo normalizas, y con eso formas la ecuación del plano normal.

Ah, entendí! Cuando dice "cuyo conjunto imagen sea C" es lo mismo que pedirme que parametrice la curva, no? Es que también verlo escrito de esa forma me confundió. Gracias
De la demostración tenés idea de cómo resolverla? A mi no se me ocurre

Claro!

La función g(t) va a devolver un conjunto de puntos en R3 para el conjunto de valores que tome t. Ese conjunto de puntos que devuelve g(t) va a formar tu curva. Siempre que parametrices a la curva con una función vectorial, no te olvides nunca de decir de donde a donde va el parámetro (en este caso de 0 a dos pi)...Ya que eso va a definirte si es una circunferencia completa, media, un cuarto, etc (en el caso de que la curva, efectivamente sea una circunferencia...)

En cuanto al otro...dejamelo pensar...

Gracias por lo anterior! Creo que fue más problema de enunciado jajaja
De paso, tenés idea por qué en wolfram este límite no existe y a mí me da 0... porque según lo pienso yo no me estoy equivocando, pero no sé, me parece raro que de distinto:

El ejercicio pide estudiar la continuidad en (0,1) de la función:

\[F(x,y) = ((x-1)^2+y^2)*sen(\frac{\pi }{x-y-1})\] \[2x-2\]
Bueno, analizo acercándome por ambas f1 y f2, donde f2 me da 0 (f2= 2x-2).
Con f1, yo lo pensé como un límite que es un infinitésimo por función acotada (bastante fácil), porque el seno siempre es función acotada, y 0*func acotada = 0. Pero,
Resultado según wolfram... es medio raro todo.

No te guies de wolfram para resolver limites dobles, no se si es un problema con el programa o que pero en limites dobles siempre anda para atras, el resultado da cero , simple infinitesimo por acotada ......

Lo ideal seria que por cada ejercicio inicies un nuevo th, asi uno solo no se hace extenso y con un titulo descriptivo sobre el problema nos sirve a todos que podamos tener tus mismas inquietudes

(01-08-2014 02:13)Saga escribió:  No te guies de wolfram para resolver limites dobles, no se si es un problema con el programa o que pero en limites dobles siempre anda para atras, el resultado da cero , simple infinitesimo por acotada ......

Lo ideal seria que por cada ejercicio inicies un nuevo th, asi uno solo no se hace extenso y con un titulo descriptivo sobre el problema nos sirve a todos que podamos tener tus mismas inquietudes

Sí, tenés razón! Para la próxima lo divido en dos