Hola! Resolviendo parciales me surgieron unas dudas más que nada de saber si planteé bien los ejercicios o no. Dejo los enunciados y lo que resolví yo.

Ejercicio 1

Expresar la masa del cuerpo del primer octante formado por \[z^{2}\leqslant y^{2}+x^{2}\], \[y^{2}+x^{2}+z^{2} \leqslant 4\] si la densidad en cada punto es directamente proporcional a la distancia al plano: z = 0, tanto en cilíndricas como en esféricas.

Este es un parcial resuelto de fotocopiadora, donde no me cierra lo que hizo la persona que lo resolvió porque yo lo planteé de otra forma.

Cilíndricas:
\[\left\{\begin{matrix}x= r cos\varphi \\ y = rsen\varphi \\z = z\end{matrix}\right.\]

Donde

\[0 \leqslant r \leqslant \sqrt{2}\]
\[0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi }{2}\]
\[r \leqslant z \leqslant \sqrt{4-r^2}\]

Esféricas
\[\left\{\begin{matrix}x= r cos\theta sen \theta\\ y = rsen\varphi sen \theta\\z = r cos \theta\end{matrix}\right.\]

Donde:
\[0 \leqslant r \leqslant \sqrt{2}\]
\[0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2}\]
\[0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi }{2}\]

El resto sé cómo calcularlo, el tema es saber si definí bien los límites, y si no están bien por qué. La verdad es que no me doy cuenta de eso.


Ejercicio 2
Calcular el área de la porción de\[y = x^2 + z^2 \] que resulta exterior a \[y = 2 \sqrt{x^2+z^2}\]

En este ejercicio tengo dudas porque de lo que hay que calcular el área es de la región exterior al cono entonces no sé si estoy definiendo bien las cosas.

Yo lo parametricé primero como:
\[\left\{\begin{matrix}x=u\\ y= u^2+v^2\\ z=v\end{matrix}\right.\]
Luego hago cambio de variables y me queda:
\[\left\{\begin{matrix}u=rcos\varphi\\ y= 2r\\ z=rsen\varphi\end{matrix}\right.\]
Donde,
\[\left\{\begin{matrix}0\leqslant u\leqslant 2\pi\\ 0 \leqslant r \leqslant 2\end{matrix}\right.\]

Y de esto, bueno, calcular el área. Eso lo sé hacer, también el tema son los límites, saber si los definí bien o no

Estos dos ejercicios no me dejan dormir
Saludos

el segundo lo veo bien... en cilindricas en el primero estas tomando mal la region de integracion , observa que hay dos limites superiores en z, por ende la integral se divide en dos , para hacerlo en una sola integral hay que fijar z y variar r. Pero de la manera que lo estas haciendo tenes que dividir en dos la integral , no se que procedimiento usaron para resolver el parcial ese, pero ese ejercicio esta resuelto aca en el foro, ahora no recuerdo en que parte pero esta

al estar mal la region tambien esta mal en esfericas

(24-11-2014 00:58)Saga escribió:  el segundo lo veo bien... en cilindricas en el primero estas tomando mal la region de integracion , observa que hay dos limites superiores en z, por ende la integral se divide en dos , para hacerlo en una sola integral hay que fijar z y variar r. Pero de la manera que lo estas haciendo tenes que dividir en dos la integral , no se que procedimiento usaron para resolver el parcial ese, pero ese ejercicio esta resuelto aca en el foro, ahora no recuerdo en que parte pero esta

al estar mal la region tambien esta mal en esfericas

pero no es la esfera la única que limita a z de arriba? eso no entiendo para mí z va limitado por el cono y la esfera, el resto lo limitan los ángulos y r

nop.... te dije que estas tomando mal la region ... de hecho podes observar dos limites superiores en z , entonces por eso te digo que la region que vos tomaste esta mal , estaria correcta si no hubiesen dos limites superiores en z... la region es un cucurucho con su bochita de helado con eje en y... lo podes ver ?? por eso te digo que se divide en dos la integral ...

Si queres hacerlo en una sola integral , hay que fijar el z y variar el r... me explico ?

Es que sí, yo veo el "cucurucho" con la "bocha", lo dibujé así de hecho pero es a lo largo del eje z. El tema es que para mí z está entre esos dos, entre el cono y la semi esfera. No entiendo por qué no es así, o sea, cuáles son los DOS límites superiores? para mí uno es inferior y el otro superior, si es a lo largo del eje z

(24-11-2014 01:34)Bian escribió:  Es que sí, yo veo el "cucurucho" con la "bocha", lo dibujé así de hecho pero es a lo largo del eje z.

Nop, es a lo largo del eje y

Cita:El tema es que para mí z está entre esos dos, entre el cono y la semi esfera. No entiendo por qué no es así, o sea, cuáles son los DOS límites superiores?

observa lo siguiente vos tenes

\[z^2\leq x^2+y^2\]

luego si despejo z de la esfera me queda

\[z\leq \sqrt{4-(x^2+y^2)}\]

observa que las desigualdades no se invierten , por eso te digo que hay dos limites superiores en z, que inducen a que la integral se divida en dos partes

Pasando las superficies a su forma cilindrinca , la integral a resolver es

\[M=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\sqrt{2}}\int_{0}^{r} d(r,\theta, z)rdzdrd\theta+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\sqrt{2}}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-r^2}} d(r,\theta, z)rdzdrd\theta\]

nada

(24-11-2014 09:52)ces14 escribió:  Pa mi:
Cilindricas: es como dice Saga, cuando integras sobre z tenes los dos limites, cual tomas? => hay que dividir, y con respecto a los limites que estas tomando para r: 0<r<2 (de reemplazar en las desigualdades, y ademas la esfera te queda de radio 2).
Esfericas: lo mismo para r, seria: 0<r<2, tambien creo que con tita es otro intervalo para integrar, seria: pi/4<tita<pi/2.
Es igual al ejer.135 del Flax II (alguien creo lo subio a utnianos) con una esfera de radio distinto y ahí esta mas/mejor explicado.

¿Por qué tita varía entre esos ángulos? ¿Cómo llegás a eso?

Saga Gracias por la explicación! Pero, el semi cono \[z = \sqrt{x^2+y^2}\] por qué a lo largo del eje y? Si sus curvas de nivel son circunferencias sobre el plano (x,y)

(24-11-2014 12:34)Bian escribió:  Saga Gracias por la explicación! Pero, el semi cono \[z = \sqrt{x^2+y^2}\] por qué a lo largo del eje y? Si sus curvas de nivel son circunferencias sobre el plano (x,y)

Es correcto lo que decis , pero yo no dije que el semicono este sobre el eje y, dije que la REGION es como un cucurucho con su bocha de helado , con eje en y...

nada

Entendido, pensaba que el ángulo se tomaba desde el plano xy hasta el eje z, no al revés. Muchas gracias a ambos!