Hola gente!

Aca encontré un ejercicio en los resueltos del CEIT que me resulta rara la resolución. Dice:

A) Determine el intervalo de CV de la serie \[\sum _{1}^{\infty } \frac{n^{2}}{n!}(x-1)^{n}\]

B) Utilizando el resultado anterior, halle: \[\lim_{n \to \infty } \frac{n^2}{n!} sen\left [ (2n+1)\frac{\pi }{2} \right ]\]

En el primer punto todo bien, el resultado es que CV para todo R, pero ahora el segundo, en el resuelto lo que hace es resolver el límite así nomás, sin usar nada de la serie y me parece que no es lo que piden

Yo lo que hice (igual creo que la flashie mal) fue igualar el termino \[(x-1)^n\] con \[sen\left [ (2n+1)\frac{\pi }{2} \right]\], despeje x y lo metí en la serie, y me quedó:

\[\sum _{1}^{\infty } \frac{n^{2}}{n!} sen\left [ (2n+1)\frac{\pi }{2} \right ]\]

Entonces saqué el Sn:

\[S_{1}= sen(\frac{3}{2}\pi)=-1\]

\[S_{2}= -1+2sen(\frac{5}{2}\pi)= -1 + 2 = 1\]

\[S_{3}= 1 + \frac{3}{2}sen(\frac{7}{2}\pi)= 1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\]

\[S_{4}= -\frac{1}{2}+\frac{2}{3}sen(\frac{9}{2}\pi)= -\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}\]

\[S_{5}= -\frac{1}{6}+\frac{5}{24}sen(\frac{11}{2}\pi)= \frac{1}{6}-\frac{5}{24}=-\frac{1}{24}\]

\[S_{n}= \frac{(-1)^n}{(n-1)!}\]

Y finalmente:

\[\lim_{n \to \infty } \frac{(-1)^n}{(n-1)!} = 0\]

Que efectivamente es el resultado del límite, pero mepa que dio de casualidad sinceramente, porqué después revisando, llego a la conclusión de lo que hice fue asumir que

\[\lim_{n \to \infty } \frac{n^2}{n!} sen\left [ (2n+1)\frac{\pi }{2} \right ] = \sum _{1}^{\infty } \frac{n^{2}}{n!} sen\left [ (2n+1)\frac{\pi }{2} \right ]\]

Y creo que así no es.

¿En estas fechas se te ocurre estudiar esto?

Bueno, lo que aprovechas del punto A para hacer el B, es lo siguiente:

Vos tenes que la serie converge para todo x que pertenece a los Reales. Luego la función sen(choclo) es una función acotada en [-1, 1], entonces (x-1) va a tener siempre valores en ese intervalo, (y más fácil aún dado que el sen(choclo) no está elevado a la n). Por lo que sólo te queda calcular lo que habías calculado (la sucesión). Y en general un límite al infinito de un INFINITESIMO por ACOTADO SIEMPRE es 0.

Luego... eso último no es correcto. El límite te dice a qué valor tiende una función; en cambio la sumatoria a qué valor tiende la suma de los elementos de la sucesión. Miralo como dos bolsas:
En la bolsa del límite no vas a tener nada que sumar dado que tenes solo un número (lo que te da el límite), pero en la bolsa de la serie vas a tener muchas cosas (infinitas en este caso). Entonces si tenes por ejemplo la serie armónica 1/n ésta tiene un límite (una bolsa donde tenes el 0) y en la de la serie vas a tener {1, 1/2, 1/4...} que en su conjunto diverge. Así que el límite NO SIEMPRE es igual a la sumatoria (las series alternadas son una linda excepción).

¿se entendió?

Hm, no entiendo la relación que hay entre el sen y el (x-1), es decir, como puedo relacionar este limite con la serie

(03-01-2014 20:20)wasolca escribió:  ¿En estas fechas se te ocurre estudiar esto?

sino me olvido todo

La relación es que básicamente (x-1) "no afecta" a la serie. Podes ponerle 0, 1, 10000000 o un choclo (?) que la serie siempre va a converger. Pero si tenes en cuenta la función:

\[f(x)=sen(g(n)) \]

(en este caso \[g(n)=(2n+1)\frac{\pi }{2}\])

ésta siempre te va a dar valores entre [-1, 1]. Pero como (x-1), y más específicamente "x" pueden tener cualquier valor y por eso la serie siempre va a converger, que pongas -1, -0,5, 1, 0.. no importa, ese límite siempre va a existir y, en este caso, es 0.

Disculpa que no te haya respondido antes.

Hm, a que limite te referis? al del Sn o al lim en cuestión?

En este caso no había necesidad de utilizar la suma parcial (o Sn). Me refería al límite.

Creo que ya entendí. Muchas gracias