Hola gente, estoy preparando el final de analisis y me tope con este ejercicio al que no le encuentro la vuelta... a ver si me dan una manito...



Probe derivando, pero no llego a nada la verdad...

Hace rato que cursé Análisis pero creo que más o menos me acuerdo. Me parece que primero hay que resolver las integrales, despejar f(x) y usar el dato de f(0)=1 para encontrar la constante de integración:

\[ \int _{0}^{f(x)} \sqrt{t} \,dt - \int _{0}^{x} t \cdot \cos (t) \,dt=0 \]

Integrando:

\[\frac{2}{3} \cdot f(x)^{\frac{3}{2}} - \cos(x) - x \cdot \sin(x) + 1 + C = 0\]

\[\frac{2}{3} \cdot f(x)^{\frac{3}{2}} = \cos(x) + x \cdot \sin(x) - 1 + C\]

Con f(0) = 1:

\[\frac{2}{3} \cdot f(0)^{\frac{3}{2}} = \cos(0) + 0 - 1 + C\]

\[\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} = C\]

\[\frac{2}{3} = C\]

Despejando f(x), quedaría:

\[f(x) = (\frac{3}{2}(\cos(x) + x \cdot \sin(x) - 1 + \frac{2}{3}))^{\frac {2}{3}}\]

Puede que le haya errado en algún punto del desarrollo, pero espero que al menos te haya servido el planteo.

Hola otro camino que podés tomar, considero \[y=f(x)\]

\[\displaystyle\int_{0}^{y} \sqrt[ ]{t}dt- \displaystyle\int_{0}^{x}t.cos(t)dt= \mbox{por el teorema fundamental}= \sqrt[ ]{y}y'-x.cos(x)=0\]

ahora te queda una ecuacion diferencial , la cual la resolves por separación de variables

\[\sqrt[ ]{y}\dfrac{dy}{dx}=x.cos(x)=\mbox{luego de integrar}\quad \dfrac{2}{3}y^{3/2}=x.sen(x)+cos(x)+c\]

créo que desde ahí podes seguir, toma en cuenta que \[f(0)=1\] salvo error en las cuentas. HCL me parece que el +1 que encontrás después de integrar, esta demas

saludos

Gracias gente, lo encaro por ese lado, me habia emperrado en una forma de hacerlo y no lo pense asi!

El +1 sale de

\[-\int_{0}^{x} t \cdot \cos(t) \,dt = - (\cos(x) + x \cdot \sin(x) - (\cos(0) + 0 \cdot \sin(0))) + C\]

y el cos(0) queda como 1. Perdón por no haberlo explicado mejor, lo hice con Mathcad a las 4 de la mañana. Ni siquiera me acuerdo del teorema fundamental, la cursé en el 2007 .

Hola HCL

(21-09-2010 17:39)HCl escribió:  El +1 sale de

\[-\int_{0}^{x} t \cdot \cos(t) \,dt = - (\cos(x) + x \cdot \sin(x) - (\cos(0) + 0 \cdot \sin(0))) + C\]

y el cos(0) queda como 1. Perdón por no haberlo explicado mejor, lo hice con Mathcad a las 4 de la mañana. Ni siquiera me acuerdo del teorema fundamental, la cursé en el 2007 .

Había algo que no me cerraba en tu planteo, ahora me di cuenta, cuando vós haces integrales indefinidas ahi aparece la constante C,
entiendo que en este caso vós hiciste eso, tomaste la integral como indefinida e integraste, la idea esta bien , pero toma en cuenta que si haces eso y evaluas después en los extremos de integración (integral definida) no puede aparecer una constante C, te acordas eso??
saludos

La verdad que no, no me acordaba.

¿Pero si no estuviera la constante de integración no quedaría esto?

\[\frac{2}{3} \cdot f(0)^{\frac{3}{2}} = 0\]

\[\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} = 0\]

\[\frac{2}{3} = 0\]

O capaz hay algo más que se me esté escapando.


No estoy seguro tampoco de si por este camino está bien. Habría que probar hacerlo de la otra forma y ver si se llega a lo mismo.

Hola

(22-09-2010 16:21)HCl escribió:  La verdad que no, no me acordaba.

¿Pero si no estuviera la constante de integración no quedaría esto?

\[\frac{2}{3} \cdot f(0)^{\frac{3}{2}} = 0\]

\[\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} = 0\]

\[\frac{2}{3} = 0\]

O capaz hay algo más que se me esté escapando.


No estoy seguro tampoco de si por este camino está bien. Habría que probar hacerlo de la otra forma y ver si se llega a lo mismo.

si quedaria eso, lo cual te esta indicando que no es el camino adecuado a seguir, para mi el ejercicio esta dado para utilizar el TFCI y ecuaciones diferenciales, así lo plantearia yo, pero, habra que esperar la opinión de algún otro forista, seria copado escuchar opiniones diferentes , por ahi lo pence mal , y hay que tomar otro camino, pero yo lo presentaria asi como lo expuse

saludos

(22-09-2010 20:11)aoleonsr escribió:  Hola

(22-09-2010 16:21)HCl escribió:  La verdad que no, no me acordaba.

¿Pero si no estuviera la constante de integración no quedaría esto?

\[\frac{2}{3} \cdot f(0)^{\frac{3}{2}} = 0\]

\[\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} = 0\]

\[\frac{2}{3} = 0\]

O capaz hay algo más que se me esté escapando.


No estoy seguro tampoco de si por este camino está bien. Habría que probar hacerlo de la otra forma y ver si se llega a lo mismo.

si quedaria eso, lo cual te esta indicando que no es el camino adecuado a seguir, para mi el ejercicio esta dado para utilizar el TFCI y ecuaciones diferenciales, así lo plantearia yo, pero, habra que esperar la opinión de algún otro forista, seria copado escuchar opiniones diferentes , por ahi lo pence mal , y hay que tomar otro camino, pero yo lo presentaria asi como lo expuse

saludos

Yo lo plantie igual que vos con el teorema y la ecuacion diferencial, asi es como lo aprendi en la cursada, el otro metodo no se si seria valido, pero da muy distinto, con lo que se de analisis I no puedo decir por que es invalido =( .

Saludos.

Puede que lo hayas hecho bien, gfloresta. Ni siquiera tengo la guía de ejercicios como para ver si ahí está la respuesta, pero si la tenés y la podés postear nos vas a hacer un favor.

Si te animás, poné lo que hiciste que yo también quiero ver como es el procedimiento .

Si no me equivoco ese ejercicio no es de la guia, tengo la guia y podria buscarla si es que no la regale cuando aprobe am1, basicamente hice lo mismo que hizo aoleonsr se aplica el teorema fundamental, dejo el link de wiki donde explica el teorema

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fun...C3%A1lculo

Saludos.

Ahora me quedó más claro. Quedaría como dijo aoleonsr.

\[\sqrt {y} \cdot \frac {dy}{dx} - x \cdot \cos (x) = 0\]

Integrando me dio
\[\int_ {}{}\sqrt {y} dy = \int_ {}{} x \cdot cos(x) dx\]

\[\frac{2}{3} \cdot y^{\frac{3}{2}} = \cos (x) + x \cdot \sin (x) + C\]

Con y(0) = 1
\[\frac {2}{3} \cdot 1^{\frac {3}{2}} = 1 + C\]

\[\frac{2}{3} - 1= C\]

Y al final quedó
\[y=(\frac{3}{2}(cos(x)+x\cdot\sin(x)+\frac{2}{3}-1))^{\frac{2}{3}}\]

Parece que por este camino se llega a lo mismo (si no patiné en ningún lado), aunque es verdad que con el primer camino que usé no sé de dónde saqué la constante de integración .
De todos modos si en la cursada les dicen que este es el único camino válido entonces no es recomendable que traten de "innovar" cuando estén frente a la hoja del parcial/final.

Me pregunto si Ricki dio el final de Análisis en esta semana.

Si, lo dio, y se comio un 2. Al parecer el final que tomaron fue durisimo.

(25-09-2010 16:57)EmmanuelDG escribió:  Si, lo dio, y se comio un 2. Al parecer el final que tomaron fue durisimo.

uhh que bajon, por lo general para estas fechas tengo entendido que son complicados los examenes, ¿leyenda popular ? anda a saber,

ricki cualquier duda andamos por acá, si se te puede prestar ayuda pss

saludos

(25-09-2010 02:12)HCl escribió:  Ahora me quedó más claro. Quedaría como dijo aoleonsr.

\[\sqrt {y} \cdot \frac {dy}{dx} - x \cdot \cos (x) = 0\]

Integrando me dio
\[\int_ {}{}\sqrt {y} dy = \int_ {}{} x \cdot cos(x) dx\]

\[\frac{2}{3} \cdot y^{\frac{3}{2}} = \cos (x) + x \cdot \sin (x) + C\]

Con y(0) = 1
\[\frac {2}{3} \cdot 1^{\frac {3}{2}} = 1 + C\]

\[\frac{2}{3} - 1= C\]

Y al final quedó
\[y=(\frac{3}{2}(cos(x)+x\cdot\sin(x)+\frac{2}{3}-1))^{\frac{2}{3}}\]

Parece que por este camino se llega a lo mismo (si no patiné en ningún lado), aunque es verdad que con el primer camino que usé no sé de dónde saqué la constante de integración .
De todos modos si en la cursada les dicen que este es el único camino válido entonces no es recomendable que traten de "innovar" cuando estén frente a la hoja del parcial/final.

Me pregunto si Ricki dio el final de Análisis en esta semana.

Si es verdad se llega a lo mismo, en algunos casos habia que usar si o si el teorema ya que te ponian una f ( x ) en alguno lado de la ecuacion, si a alguien le interesa busco con tiempo el problema del parcial en el que me tomaron eso y lo pongo.

Saludos.