Hallar A-B-C de forma que f=(x+2y+Az;Bx-3y-z;4x+Cy+2z) sea el gradiente de una funcion escalar y hallar esta.

sinceramente no se que hacer...

se que para calcular el grandiente hay que calcular la derivada parcial osea: F=(P´x;P´y;P´z) y probe integrando en cada parte pero no llegue a nada...

pero en que punto te lo piden ??? no aclara eso el enunciado ??

no lo aclara, lo copie textual

mmmm esta bien tu idea, justamente hay que integrar para hallar la funcion escalar que te piden, pero al no aclarar en que punto queda todo en funcion de ABC, igual dejame pensarlo....

Esto es asi , sea g la funcion escalar que nos piden , se tiene que cumplir que

\[\nabla g=f\]

de donde sabes que

\[\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}=x+2y+az\quad (1)\]

\[\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} y}=bx-3y-z\quad (2)\]

\[\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} z}=4x+cy+2z\quad (3)\]

si integro respecto de z la funcion escalar tendra la forma

\[g(x,y,z)=4xz+cyz+z^2+\alpha(x,y)\]

derivo respecto de y , luego reemplazo en (2) y me queda

\[cz+\alpha'_y(x,y)=bx-3y-z\]

de donde para poder integrar respecto de y necesariamente \[c=-1\]

integrando respecto de y

\[\alpha(x,y)=bxy-\frac{3}{2}y^2+\beta(x)\]

reemplazando en g

\[g(x,y,z)=4xz-yz+z^2+bxy-\frac{3}{2}y^2+\beta(x)\]

derivando respecto de x, y reemplazando en (1)

\[4z+by+\beta'(x)=x+2y+az\]

para poder integral respecto de x , necesariamente

\[a=4\quad b=2\]

integrando respecto de x hallo la funcion beta

\[\beta(x)=\frac{x^2}{2}+C\]

finalmente la funcion escalar pedida es

\[g(x,y,z)=4xz-yz+z^2+2xy-\frac{3}{2}y^2+\frac{x^2}{2}+C\]

para hallar C falta el punto por donde pasa la funcion escalar