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Guía de ejercicios resueltos Análisis Matemático 2
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lautaromss Sin conexión
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Ing. en Sistemas
Facultad Regional Buenos Aires

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Mensaje: #16
RE: Guía de ejercicios resueltos Análisis Matemático 2
Ok ahora que soy más sabio ya pude resolver el ejercicio. Tu expliclación de que "cos(xy)/xy" es una función acotada no alcanza porque no es trivial que "cos(xy)/xy" sea una función acotada (¡y de hecho no lo es!). En efecto, dicha función es una indeterminación del tipo 0/0 que tendría que ser resuelta. "sen(x)/x" es un límite notable que es demostrado en clase y que podemos usarlo como límite sabido, pero "cos(x)/x" no sabemos cuánto vale (vale infinito por cierto, se puede comprobar dandole valores muy pequeños a x en la calculadora).

Es mi opinión que en (y - ycos(xy))/xy no hay una función acotada por un infinitésimo, sino la resta entre un infinitésimo y el producto entre un infinitésimo y algo que tiende a infinito, por lo tanto el ejercicio no está resuelto. Continuando el ejercicio desde ahí, esta es la resolución (recordemos que (x,y) tiende a (0,0), no sé cómo ponerlo la fórmula):

Primero sacamos factor común "y" en el numerador:

\[ y \frac{(1 - cos(xy))}{xy}\]

Luego multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador:

\[y \frac{(1 - cos(xy))}{xy} \frac{(1 + cos(xy))}{(1 + cos(xy))}\]

Hacemos distributiva entre los numeradores y entre los denominadores.

\[y \frac{(1 - cos^{2}(xy))}{xy + xy cos(xy)}\]

Sabiendo que 1-cos^2(x) = sen^2(x), lo reemplazamos en el numerador. Por otro lado sacamos factor común xy en el denominador.

\[y \frac{(sen^{2}(xy))}{xy(1 + cos(xy))}\]

Separamos la fracción en el producto de dos fracciones:

\[y \frac{sen(xy)}{xy} \frac{sen(xy)}{1 + cos(xy)}\]

Tenemos entonces el producto de 3 funciones que tienden a 0, por lo tanto el límite de todo es 0. En efecto:

\[\frac{sen(xy)}{xy}\] tiende a 0 por ser equivalente al límite notable sen(x)/x.

\[\frac{sen(xy)}{1 + cos(xy)}\] tiende a 0 ya que no es una indeterminación. El numerador tiende a 0 y el denominador a 2. Por lo tanto la fracción tiende a 0.

Ahora sí fin del ejercicio.
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 30-05-2016 01:03 por lautaromss.)
30-05-2016 01:02
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