buenas tardes chicos! tengo la duda de como resolver este ejercicio?, ya que en la práctica sólo he dado hasta integrales impropias de 1º especie.-

desde ya gracias al que pueda explicarme.-


aclaro: en la imagen la integral va de 0 hasta pi/2

Tenes que demostrar que esa integral converge al valor que te dan .

La funcion no esta acotada en \[\frac{\pi}{2}\] entonces

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin x}}dx=\lim_{b\to\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{b}\frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin x}}dx\]

resolviendo por sustitucion

\[\\u^2=1-\sin x\to 2udu=-\cos x dx\]

haciendo las cuentas, te queda

\[\lim_{b\to\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{b}\frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin x}}dx= \lim_{b\to\frac{\pi}{2}}-2\sqrt{1-\sin x}|_{0}^{b}\]

por propiedad de limite y por regla de barrow

\[ \lim_{b\to\frac{\pi}{2}}-2\sqrt{1-\sin x}|_{0}^{b}= -2\left(\lim_{b\to\frac{\pi}{2}}\underbrace{\sqrt{1-\sin b}}_{\to 0}-\underbrace{\sqrt{1-0}}_{\to1}\right)=2\]