Chicos les dejo el parcial que tomo Mirta Bindstein con Debora chan en esta primera parte. Vi que no hay ningún parcial subido sobre ellas así que dejo este.

Como se haria el 1ero y el 2do?
Gracias!!!!

bastante facil che...

En el E2, cuando haces la derivada direccional haces l'hopital dos veces seguidas?

(27-06-2014 10:28)mardo182 escribió:  En el E2, cuando haces la derivada direccional haces l'hopital dos veces seguidas?

l'hopital ???? WTFF

bueno aguse capaz para otros no es fácil así que ahorrate el comentario por favor.
Uh ,mirta también esta en la FRA ,que mal que la pase en las consultas que daba ella
jajaja gracias!!

(27-06-2014 18:20)frannco94 escribió:  

(27-06-2014 10:28)mardo182 escribió:  En el E2, cuando haces la derivada direccional haces l'hopital dos veces seguidas?

l'hopital ???? WTFF

Si, que tiene?? L´hopital. Mi pregunta es si deriva dos veces seguidas para que la t se vaya del denominador.

Derivas las veces que sea necesario siempre y cuando antes de derivar se cumplan las condiciones del teorema

Esta bien, si alguien lo puede resolver lo agradeceria.

Problema E2

Punto a

Nos pide analizar continuidad en el punto P = (0,0), es decir en el origen.

1) \[\exists F(0,0) ?\]

Vemos que el punto (0,0) satisface la rama B de la función, por lo que:

\[\exists F(0,0) = 2*0 = 0\]

2) Ahora vemos que pasa con el limite acercandome por el origen.

Rama B

Como estoy en (x,y) = (0,y) solo necesito acercarme por y para ver que pasa.

\[\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} F(x,y) = \lim_{y\rightarrow 0} 2y = 0\]

Rama A

\[\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} F(x,y) = \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{\sin (x,y)}{x}\]

Multiplico por "y" arriba y abajo:

\[\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{\sin (x,y)}{x} \frac{y}{y} = \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}{y} = 0\]

Como LB = LA existen, entonces el limite existe y es igual a 0.

3) \[\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}F(x,y) = F(0,0)\]

Por lo que la funcion es continua en el origen.


Punto b

Pide analizar la derivabilidad en toda dirección y sentido.

\[f`(Xo, u) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ F((xo, yo) + hu) - F(xo,yo)}{h}\]

Para todo \[u = (a,b)\]\[u = (a,b)\]

Con \[a^{2} + b^{2} = 1\]

Entonces:

\[f`((0,0), (a,b)) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ F((0, 0) + h(a,b)) - F(0,0)}{h}\]

Ya habiamos visto que F(0,0) = 0 en el punto anterior.

\[f`((0,0), (a,b)) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(ha,hb)}{h}\]

Como h tiende a cero, no puede tomar ese valor. Entonces analizamos que pasa si a = 0 o si b = 0 y a la vez si a != 0 y b != 0

si a != 0 y b != 0

Estamos dentro de la condicion de la rama A, donde (x,y) != (0,y)

\[f`((0,0), (a,b)) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(ha,hb)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{sin(h^{2}ab)}{h^{2}a}\]

y como sabemos que a y b son distintos de cero, podemos multiplicar ambos miembros de la fracion por b.

\[f`((0,0), (a,b)) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{sin(h^{2}ab)}{h^{2}a}\frac{b}{b} = 1\]\[f`((0,0), (a,b)) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{sin(h^{2}ab)}{h^{2}a}\frac{b}{b} = 1\]


Si a = 0

\[f`((0,0), (a,b)) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(0,hb)}{h}\]

Ya dijimos que a = 0, y como la suma de los cuadrados entre a y b debe ser 1, entonces b es distinto de cero por lo que caemos en la rama B de nuestra funcion, donde (x,y) = (0,y).

\[f`((0,0), (a,b)) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(0,hb)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2hb}{h} = 2b\]

Analizamos que pasa si b = 0

\[f`((0,0), (a,b)) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(ha,0)}{h}\]

Donde caemos en la rama A de nuestra funcion (x,y) != (0,y)

\[f`((0,0), (a,b)) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin (h*a*0)}{ha}\frac{1}{h}\]

\[f`((0,0), (a,b)) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin (h*a*0)}{ha}\frac{1}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{0}{h^{2}a} = 0\]

Finalmente decimos que la derivada de F(x,y) para toda dirección y sentido se parte en las siguientes dos expresiones:

\[f`((0,0), (a,b)) = 2b\] si \[a = 0\]

\[f`((0,0), (a,b)) = 0\] si \[b = 0\]

\[f`((0,0), (a,b)) = 1 \] si \[a \neq 0 \] y \[b \neq 0 \]


\[\forall u / u = (a,b)\] con \[a^{2} + b^{2} = 1\]

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Para el punto C) no podemos decir nada con lo que hicimos hasta ahora.

Ahora, sabemos que para toda funcion diferenciable se cumple:

\[f`((xo,yo), u) = \triangledown F(xo,yo) *u\]

Entonces tendriamos que ver si hay algun "u" que rompa esta igualdad, y demostrar que no es diferenciable.

El gradiente de F es:

\[\triangledown F(xo,yo) = (f`x, f`y) = (f`(0,0)(1,0), f`(0,0)(0,1)) = (0,2)\]

(esto lo pudimos hacer ya que obtuvimos la derivada general para toda direccion y sentido en el item anterior)

Elegimos un "u" cualquiera .... \[u = (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\]

Y ahora aplicamos la formula que mencionamos antes:

\[f`((0,0), (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})) = 1 \]

y

\[\triangledown F(0,0)*(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}) = (0,2) *(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2}{\sqrt{2}}\]

Entonces decimos, que como existe un "u" tal que no se cumple

\[f`((xo,yo), u) = \triangledown F(xo,yo) *u\]

La funcion no es diferenciable en el origen

Gracias, pero no entiendo por que en la parte "b", decis a distinto de cero y b distinto de cero, das por hecho de que b = 1, cuando si b = 1 indefectiblemente a deberia valer cero y no puede.

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Otra cuestion: si vos analizas a distinto de cero y b distinto de cero, ambas en la primera rama, por que cuando haces a =0 y b = 0 no lo haces ambas en la segunda rama???

(30-06-2014 11:26)mardo182 escribió:  Gracias, pero no entiendo por que en la parte "b", decis a distinto de cero y b distinto de cero, das por hecho de que b = 1, cuando si b = 1 indefectiblemente a deberia valer cero y no puede.

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En que parte decís que hice eso???

http://latex.codecogs.com/png.latex?f`((...b}%20=%201

Por que te da 1 de resultado? el resultado es B

Alguien podria hacer el E4? porque creo que me da cualquier cosa.

Hay que ver como lo encaraste para saber en que te equivocas , (si es que te equivocas ) por los datos del enunciado sabes que

\[F\approx P\]

ademas F es una composicion con una funcion g definida como

\[g(x,y)=(x^2-2y,y^2+xy-1)\]

\[g(2,1)=(2,2)=(u,v)\]

entonces de forma matricial tenes

\[\nabla H(2,1)=\nabla F(g(2,1))\cdot\nabla g(2,1)\]

de donde

\[\nabla H(2,1)=\nabla F(2,2)\cdot\nabla g(2,1)\]

finalmente para calcular la aproximacion pedida solo tenes que armar

\[z\approx H(x,y)=F(g(A))+\nabla H(A)(X-A)\quad A=(2,1)\]

tenes todos los datos, es solo un producto matricial a resolver, y despues armar el plano tangente a H.. ahora no hago las cuentas por estar en el laburo , si no te sale chifla y lo vemos