Hola
Ejercicio 1.1 escribió:Sea la transformación lineal
\[\vec T:\Bbb R^3\to\Bbb R^3\mid\vec T(x-y+2z,2x+y+z,k^2x+3y+6z).\]
a) Obtener, si existe, k real para que dim(ker T)=1.
b) ¿Existe k real para que exista la transformación inversa de T?
a) El núcleo de
T se define como
\[\ker{(\vec T)}=\{(x,y,z)\in\Bbb R^3\mid\vec T(x,y,z)=(0,0,0)\}.\]
Debemos resolver el sistema
\[\require{cancel}\begin{cases}x-y+2z=0\\2x+y+z=0\\k^2x+3y+6z=0\end{cases}\implies\left(\begin{array}{ccc:c}\boxed1&-1&2&0\\2&1&1&0\\k^2&3&6&0\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc:c}1&-1&2&0\\0&\cancelto{\boxed1}{3}&\cancelto{-1}{-3}&0\\0&k^2+3&-2k^2+6&0\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc:c}1&0&1&0\\0&1&-1&0\\0&0&-k^2+9&0\end{array}\right)\implies\begin{cases}x+z=0\\y-z=0\\(-k^2+9)z=0.\end{cases}\]
Debemos distinguir dos casos:
i)
\[-k^2+9=0\implies\begin{cases}x+z=0\\y-z=0\end{cases}\implies\ker\vec T=\{(x,y,z)\in\Bbb R^3\mid x=-z\wedge y=z\}=\{(-z,z,z)\in\Bbb R^3\}=\langle(-1,1,1)\rangle.\]
ii)
\[-k^2+9\neq0\implies\begin{cases}x+z=0\\y-z=0\\z=0\end{cases}\implies\ker\vec T=\{(x,y,z)\in\Bbb R^3\mid x=-z\wedge y=z\wedge z=0\}=\{(0,0,0)\in\Bbb R^3\}=\langle(0,0,0)\rangle.\]
Concluí.
b) Podés utilizar la propiedad que dice que si el núcleo de
T es el conjunto que tiene únicamente al vector nulo (o subespacio cero) entonces la transformación es invertible (recordá que un operador lineal es invertible si y sólo si el núcleo es el trivial).
O también podés justificarlo por determinantes; si una matriz cuadrada es invertible entonces su determinante es no nulo. Para esto hallá la matriz asociada a
T, calculá su determinante e imponé que sea distinto de 0.
Ejercicio 1.2 escribió:Definir una transformación lineal T:|R^2 -> |R^2 usando que ker T=im T y (0,1)∈im T (no hace falta dar la expresión analítica de T).
Considerá por ejemplo
\[\vec T:\Bbb R^2\to\Bbb R^2\mid\vec T(x,y)=(0,x)\]
(demostrá que cumple las dos condiciones que caracteriza una transformación lineal).
Se cumple lo pedido pues
\[\exists(1,0)\in\Bbb R^2:\vec T(1,0)=(0,1)\in\operatorname{im}\vec T\]
y el núcleo está formado por
\[\ker\vec T=\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x=0\}=\{(0,y)\in\Bbb R^2\}=\{(0,1)\}.\]
Ahora bien, para hallar la imagen notemos que (0,
x)=
x(0,1), o sea
\[\operatorname{im}\vec T=\{(0,1)\},\]
y así el núcleo e imagen son iguales.
Ejercicio 2.1 escribió:Sea la transformación lineal
\[\vec T:\Bbb R^3\to\Bbb R^3\mid M_{BE}=\begin{pmatrix}1&2&2\\0&2&1\\0&0&1\end{pmatrix}\]
es su matriz asociada respecto de la base B={(1,0,0),(0,0,1),(0,-1,-1)} y E la base canónica.
Hallar todos los vectores (x,y,z)∈|R^3 tales que T(x,y,z)=(1,-1,0).
La matriz respecto a las bases
B (en el espacio de partida) y
E (en el espacio de llegada) es aquella que en cada columna tiene las imágenes de las vectores de la base
B expresadas en coordenadas respecto a la base
E (que es la canónica en este caso).
Por tanto lo que sabemos es que
\[\vec T(1,0,0)=(1,0,0),\quad\vec T(0,0,1)=(2,2,0),\quad\vec T(0,-1,-1)=(2,1,1).\]
A partir de acá tenés que hallar la matriz asociada a la transformación, que es la matriz de cambio de base. Tenés dos caminos:
1) Notar que
\[\vec T(0,-1,-1)=-\vec T(0,1,0)-\vec T(0,0,1)=(2,1,1)\]
y hallar el último tercer transformado para poner estos tres vectores en columnas.
2) La matriz en la base canónica es
\[M_{EE}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&0&-1\\ 0&1&-1\\\end{pmatrix}=M_{BE},\]
de donde
\[M_{EE}=M_{BE}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&0&-1\\ 0&1&-1\\\end{pmatrix}^{-1}.\]
Una vez que hallas encontrado la matriz debés resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
\[M_{EE}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}.\]
Ejercicio 2.2 escribió:Sea
\[\vec T:\Bbb R^2\to\Bbb R^2\mid\vec T(x+y,ky).\]
Estudiar para qué valores de k existe una base de |R^2 tal que la matriz asociada a T es una matriz diagonal.
Para hallar la matriz asociada a la transformación dada debemos hallar los transformados de los canónicos. Entonces
T(1,0)=(1,0) y
T(0,1)=(1,
k). Luego la matriz asociada serán estos transformados escritos como vectores columna:
\[M_{EE}=\begin{pmatrix}1&1\\0&k\end{pmatrix}.\]
Si hallamos sus autovalores resultan λ=1 o λ=k.
Si
k=1 hay dos autovalores distintos y reales. Como estamos en dimensión dos, la matriz diagonaliza.
Si
k=1 hay un único autovalor con multiplicidad algebraica dos; la multiplicidad geométrica es:
\[\dim(\Bbb R^2)-r(M_{EE}-1\cdot I)=1.\]
No coincide con la multiplicidad algebraica y por tanto no diagonaliza.
¿De todo esto qué se deduce?
Esperá que el MathJax cargue completamente. Saludos.
P.D. Por favor subí las imágenes directamente al foro. Tenelo en cuenta para la próxima.
[ PEDIDO ] 2do Parcial de AGA
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