Buenas gente, como dice el título necesito ayuda con un ejercicio de algebra que me tomaron porque rindo el martes un recuperatorio :

Sea una transformación lineal T:\[R^{3}\rightarrow R^{2}\] tal que M(T)= \[\begin{pmatrix} k-1&0 &1 \\ 2&0 &k \\ 3&1 &5 \end{pmatrix}\] es la matriz asociada respecto de las bases canónicas

Para K=3 indique si el vector (2,5,1) pertenece a Im(T)

Lo que yo tengo que hacer es buscar la imagen de la matriz con gauss igualando a: a,b y c y despues escribir el vector como conbinacion lineal de los generadores de la imagen? porque si es eso nunca me queda una fila de 0 igualado a las letras para despues sacar los generadores

Agrego uno mas:
Indique verdadero o falso:
|z+2|=|z-4|\[\Rightarrow \]Re(z)=2
aca no tengo idea que hacer
si alguien me puede ayudar se agradece

De la primera duda me duele la cabeza para ayudarte jaja, pero del otro que agregaste te puedo ayudar

Partiendo de la fórmula \[|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\]
Te pide que encuentres un número complejo que cumple |z+2|=|z-4| y que analices si Re(z)=2

Para que tengas en cuenta, Re(z) representa la parte real de un número complejo. Por ejemplo, si tengo el número z=2+i, Re(z)=2

Entonces, aclarado esto, te muestro un número complejo que cumple |z+2|=|z-4| el cual es z=1+k.i , con k cualquier real.

Si realizás la cuenta, vas a darte cuenta que son iguales, pero la parte real Re(z) no es 2, es 1.

Entonces queda demostrado que la proposición es falsa!

No me acuerdo perfectamente pero:

Te dan el valor de k, por lo cual podes reemplazar. En la 1° fila te queda un 2 y en la segunda un 3.
Acordate que Dim (Im(T) ) = rg (A), por lo tanto, fijate si son LI las 3 filas de la matriz. De serlo, significa que la dimensión de Im(T) = 3, por lo tanto tu vector pertenece a Im(T).