Hola estoy estudiando para el final de analisis 1, encontre tres ejercicios que no puedo resolver, son los siguientes:

1)Hallar una funcion y=f(x) que satisgafa que f(1) = 1 y que \[\int_{1}^{x^{2}} f(\sqrt{t}) dt = x^{3} f(x)\]

2)Determinar si la ecuacion \[\int_{t}^{x^{2}} t *ln(t) dt = \frac{1}{4}\], tiene solución en el intervalo (1,e) [no es necesario hallarla].Justifique las herramientas empleadas

3)Dada la serie de potencias \[\sum_{0}^{\infty } (-1)^{n} \frac{(x-2)^{2n}}{3^{n}+4^{n}}\] , hallar el intervalo de convergencia.

1. Aplicando el TFdC

Se deriva de ambos lados \[\int_{1}^{x^2}f \sqrt(x) dt= x^3*f(x)\]


\[f(x)*2x=2x^2*f(x)+x^3*f'(x)\]

\[f'(x)=\frac {f(x)*(2x-2x^2)}{x^3}\]

Si tenemos en cuenta que:

\[f'(x)=\frac {dy}{dx}\] y que \[ f(x)=y \]

Tenemos:

\[\frac {dy}{y}=\frac {(2x-2x^2)}{x^3} dx\]

Integrás eso de ambos lados y listo.

2. Nunca ví que se metan así las variables en el Integrando, luego me fijo con más tiempo

En el 3ero, como la serie es alternada creo que sale con las condiciones de convergencia para el criterio de Liebniz. Dsp me fijo si te puedo ayudar un poco más...

Y lo del 2 no lo vi nunca tmp... no sé si podés aplicar TFC y que la derivada inferior (dt/dx) sea cero.

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3) \[\sum _{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(x-2)^{2n}}{3^n+4^n}\]

Serie alternada. El criterio de convergencia de Leibniz dice que se tiene que cumplir que \[a_n>a_{n+1}\] a partir de algún n y que
\[a_n>0 \forall n\in \mathbb{N}\].

Nuestro \[a_n: \frac{(x-2)^{2n}}{3^n+4^n}\]

Pedimos que \[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1\]

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{(x-2)^{2n+2}}{3^{n+1}+4^{n+1}}}{\frac{(x-2)^n}{3^n+4^n}} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(x-2)^{(2n+2)}(3^n+4^n)}{(3^{n+1}+4^{n+1})(x-2)^n}<1\]

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(x-2)^2(x-2)^{2n}(3^n+4^n)}{(x-2)^{2n}(3\cdot3^n+4\cdot4^n)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(x-2)^2(3^n+4^n)}{3\cdot3^n+4\cdot4^n}<1\]

Vemos la parte que no tiene x:

\[\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{(3^n+4^n)}{3\cdot3^n+4\cdot4^n}\]

Dividiendo arriba y abajo por \[4^n\]

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{3^n+4^n}{4^n}}{\frac{3\cdot 3^n+4\cdot4^n}{4^n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(\frac{3}{4})^n+1^n}{3\cdot(\frac{3}{4})^n+4\cdot1^n}=\frac{1}{4}\]

Entonces tenemos que:

\[\frac{(x-2)^2}{4}<1 \Rightarrow |x-2|<2\]

Dsp queda ver los bordes.

En el item 2) estás segura que esos son los limites de integración? Tal vez en vez de t sea 1

Gracias por las respuestas, por lo que se entendia en la imagen que encontre en internet de ese final, en el 2do iba de t a x^2 la integral