La definicion de planos proyectantes es: "son tres planos que incluyen a la recta y son perpendiculares a los planos coordenados"

(Ecuaciones de los planos proyectantes de una recta)

Pero si se trata de una recta con un vector director que tiene una coordenada nula?

Por ejemplo "Dé, las expresiones de los planos proyectantes de la recta que pasa por el punto P(-2,4,3) y está dirigida por el vector U(5,0,4). Justificar"

\[\frac{x+2}{5}=\frac{y-4}{0}=\frac{z-3}{4}\rightarrow \frac{x+2}{5}=\frac{z-3}{4}\]

Ahí el único plano proyectante que puedo agarrar es:
Plano XZ
\[\frac{x+2}{5}=\frac{z-3}{4}\]

\[4x-5z+23=0\]

esta bien o hay forma de encontrar los otros 2?

Es que en esas fórmulas no se admiten vectores con componentes nulas. Sin embargo, si pasás las "a_x", "a_y" y "a_z" a multiplicar se te soluciona el problema.
En este caso, de los tres planos, dos son el mismo, porque la recta está contenida en un plano paralelo a uno coordenado.

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Digo livianamente que pasando multiplicando arregla el problema de las componentes nulas, pero habría que ver la deducción de esas fórmulas, a ver si la restricción es real o no.
En este caso parece que no, porque lo que digo funcionó.

(11-02-2016 20:19)luchovl2 escribió:  Es que en esas fórmulas no se admiten vectores con componentes nulas. Sin embargo, si pasás las "a_x", "a_y" y "a_z" a multiplicar se te soluciona el problema.
En este caso, de los tres planos, dos son el mismo, porque la recta está contenida en un plano paralelo a uno coordenado.

Ahí entendí muchisimas gracias

Para el plano YZ
\[\frac{x+2}{5}=\frac{y-4}{0}=\frac{z-3}{4}\rightarrow \frac{y-4}{0}=\frac{z-3}{4}\rightarrow (y-4)*4=0*(z-3)\]
quedandoel plano y=4

Plano XY
\[\frac{x+2}{5}=\frac{y-4}{0}=\frac{z-3}{4}\rightarrow \frac{y-4}{0}=\frac{x+2}{5}\rightarrow 5(y-4)=0(x+2)\]
y queda el plano y=4 otra vez como bien vos dijiste


¿En caso de tener un vector director d=(1,0,0) tendría 3 planos proyectantes iguales no?

No, porque el plano proyectante existe solo para recta y plano mientras el vector normal al plano no sea paralelo al vector director.
Para d=(1, 0, 0), no existe el proyectante con el plano yz.

Los planos proyectantes son planos que contienen a la recta, paralelos a un eje coordenado y perpendiculares al plano coordenado que interceptan.
Si una recta no es paralela a ningún plano o eje coordenado, tendrá 3 planos que la proyectan en forma paralela a los ejes coordenados.

Para obtener la ecuación de un plano que contiene a al recta y es paralelo a uno de los ejes, es suficiente con tomar un par cualquiera de las ecuaciones simétricas de la recta.

Ecuación simétrica de la recta

\[\frac{x-x_0}{u_x}=\frac{y-y_0}{u_y}=\frac{z-z_0}{u_z}\]

Recordar que \[u_x,u_y,u_z\] son las componentes de un vector paralelo a la recta. Si alguna de estas componentes es nula, se asume que el numerador también lo es